Zadanie 7 – matura z matematyki maj 2024, poziom rozszerzony

Na czworokącie \(ABCD\) można opisać okrąg.

Kąty \(ASD\) oraz \(BSC\) są wierzchołkowe, więc \[|\angle ASD|=|\angle BSC|.\] Z założenia \(\frac{|AS|}{|DS|}=\frac{|BS|}{|CS|}\) wynika, że trójkąty \(ASD\) i \(BSC\) są podobne na mocy cechy bok-kąt-bok. Zatem \[|\angle DAS|=|\angle CBS|,\qquad |\angle ADS|=|\angle BCS|.\quad(1)\] Analogicznie kąty \(ASB\) i \(DSC\) są wierzchołkowe, a z założenia wynika \(\frac{|AS|}{|BS|}=\frac{|DS|}{|CS|}\). Trójkąty \(ASB\) i \(DSC\) są więc podobne, a zatem \[|\angle SAB|=|\angle SDC|,\qquad |\angle ABS|=|\angle DCS|.\quad(2)\] Ze związków \((1)\) i \((2)\) otrzymujemy \[|\angle DAB|+|\angle BCD|=|\angle ABC|+|\angle CDA|.\] Suma wszystkich kątów czworokąta jest równa \(360^\circ\), więc każda ze wskazanych sum jest równa \(180^\circ\). Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o kątach przeciwległych czworokąta wpisanego w okrąg wynika, że na czworokącie \(ABCD\) można opisać okrąg.

**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania: wykazanie podobieństwa trójkątów \(ASD\) i \(BSC\), wykazanie podobieństwa trójkątów \(ASB\) i \(DSC\), zapisanie odpowiednich równości kątów i sformułowanie wniosku o możliwości opisania okręgu na \(ABCD\) **2 pkt** – wykazanie podobieństwa jednej z par trójkątów oraz zapisanie dwóch wynikających z niego równości miar kątów **1 pkt** – wykazanie podobieństwa trójkątów \(ASD\) i \(BSC\) albo \(ASB\) i \(DSC\) na mocy cechy bok-kąt-bok **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** V. Rozumowanie i argumentacja. **Wymagania szczegółowe:** 7.1 R) Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu.