Zadanie 14 – matura z matematyki maj 2016, poziom rozszerzony

Wybieramy trzy spośród dziesięciu pozycji dla cyfry \(1\) na C(\(10\),\(3\))=\(120\) sposobów. Każdą z pozostałych siedmiu pozycji można niezależnie wypełnić cyfrą \(2\) albo \(3\), co daje \(2^{7}\)=\(128\) możliwości. Łącznie \(120\cdot 128=15\) \(360\) liczb.

Liczba dziesięciocyfrowa ma być zapisana wyłącznie cyframi \(1\), \(2\), \(3\), przy czym cyfra \(1\) ma wystąpić dokładnie trzy razy. Żadna z dopuszczonych cyfr nie jest zerem, więc warunek na pierwszą cyfrę spełnia się automatycznie. Najpierw wybieramy pozycje dla jedynek. Jedynki są nierozróżnialne, więc liczy się tylko to, które trzy z dziesięciu miejsc zajmują — to kombinacje: \[\binom{10}{3}=120.\] Na każdej z pozostałych siedmiu pozycji może stać \(2\) albo \(3\), niezależnie od innych, co daje \[2^7=128\] możliwości. Z reguły mnożenia \[120\cdot128=15\,360.\] **Odpowiedź.** \(15\,360\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* **I sposób.** Miejsce dla trzech cyfr \(1\) wybieramy na \(\binom{10}{3}\) sposobów. Na pozostałych siedmiu miejscach rozmieszczamy cyfry \(2\) lub \(3\) w dowolnym porządku na \(2^7\) sposobów. Z reguły mnożenia otrzymujemy \(\binom{10}{3}\cdot2^7=120\cdot128=15\,360\) liczb dziesięciocyfrowych zapisanych cyframi \(1\), \(2\), \(3\), w których cyfra \(1\) występuje dokładnie trzy razy. **II sposób.** Rozpatrujemy trzy rozłączne przypadki w zależności od cyfry na pierwszym miejscu; sumowanie ich liczności daje ten sam wynik.

III. Modelowanie matematyczne. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych (R10.1).