Funkcja kwadratowa
Zadanie 16, maj 2016, poziom rozszerzony
Parabola o równaniu
\[y=2-\frac12x^2\]
przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(-2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli.
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Odpowiedź
\[P(x)=4+2x-x^2-\frac12x^3,\qquad x\in(0,2),\]
\[C=\left(\frac23,\frac{16}{9}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(C=(x,y)\). Ponieważ \(C\) leży na paraboli,
\[C=\left(x,2-\frac12x^2\right),\qquad 0<x<2.\]
Z symetrii \(|AB|=4\), \(|CD|=2x\), a wysokość trapezu wynosi \(2-\frac12x^2\). Stąd
\[P(x)=\frac{4+2x}{2}\left(2-\frac12x^2\right)=4+2x-x^2-\frac12x^3.\]
Pochodna ma postać
\[P'(x)=2-2x-\frac32x^2=-\frac32\left(x-\frac23\right)(x+2).\]
W przedziale \((0,\frac23)\) pochodna jest dodatnia, a w \((\frac23,2)\) ujemna, więc pole jest największe dla \(x=\frac23\). Wtedy
\[y=2-\frac12\left(\frac23\right)^2=\frac{16}{9},\]
czyli \(C=(\frac23,\frac{16}{9})\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.*
**Rozwiązanie składa się z trzech etapów i jest warte łącznie 7 pkt.**
**Etap I: 3 pkt** – po \(1\) pkt za zapisanie \(\lvert CD\rvert=2x\) i \(h=2-\tfrac{1}{2}x^2\); wyznaczenie \(P(x)=4+2x-x^2-\tfrac{1}{2}x^3\); określenie dziedziny \(x\in(0,2)\).
**Etap II: 3 pkt** – po \(1\) pkt za obliczenie \(P'(x)=2-2x-\tfrac{3}{2}x^2\); wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej \(x=-2\), \(x=\tfrac{2}{3}\); zbadanie znaku pochodnej i uzasadnienie maksimum dla \(x=\tfrac{2}{3}\).
**Etap III: 1 pkt** – obliczenie współrzędnych \(C=\left(\tfrac{2}{3},\tfrac{16}{9}\right)\).
**Przy poprawnej pochodnej i współrzędnych punktu \(C\), lecz bez uzasadnienia maksimum, można otrzymać najwyżej 5 pkt.**
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
rachunek różniczkowy - zastosowanie pochodnej do zadania optymalizacyjnego.
