Czworokąty
Zadanie 2, maj 2013, poziom rozszerzony
Trapez równoramienny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) jest opisany na okręgu o promieniu \(r\). Wykaż, że
\[4r^2=|AB|\cdot|CD|.\]
Odpowiedź
Oznaczmy AB=a, CD=b, ramię trapezu przez c, a wysokość przez \(h\). Ponieważ trapez jest opisany na okręgu, \(h\)=\(2r\) i a+b=\(2c\). Po opuszczeniu wysokości mamy odcinek długości (a−b)/\(2\). Z twierdzenia Pitagorasa: \(4\)\(r^{2}\)=\(c^{2}\)−((a−b)/\(2\))\(2\)=((a+b)/\(2\))\(2\)−((a−b)/\(2\))\(2\)=ab, czyli \(4\)\(r^{2}\)=AB·CD.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(a=\lvert AB\rvert\), \(b=\lvert CD\rvert\), \(c\) — długość ramienia, \(h\) — wysokość trapezu.
Okrąg wpisany jest styczny do obu podstaw, a odległość między nimi jest równa wysokości trapezu, więc
\[h=2r.\]
W czworokącie opisanym na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe, więc
\[a+b=2c,\qquad c=\frac{a+b}{2}.\]
Opuśćmy wysokość z wierzchołka \(D\) na podstawę \(AB\). Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(c\) i przyprostokątnych \(h\) oraz \(\frac{a-b}{2}\) (trapez jest równoramienny, więc oba rzuty ramion są równe). Z twierdzenia Pitagorasa
\[h^2=c^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=ab.\]
Ponieważ \(h=2r\), otrzymujemy
\[4r^2=h^2=ab=\lvert AB\rvert\cdot\lvert CD\rvert,\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** \(4r^2=\lvert AB\rvert\cdot\lvert CD\rvert\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – zapisanie \(h=2r\) oraz \(a+b=2c\).
**3 pkt** – zapisanie zależności Pitagorasa \(h^2=c^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\).
**4 pkt** – przekształcenie do postaci \(4r^2=ab\).
Wymagania podstawy programowej
V. Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzenie dowodu geometrycznego. (V.7.c)
