Trójkąty
Zadanie 9, maj 2012, poziom rozszerzony
Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym
\[|AB|=a,\qquad |BC|=b\qquad\text{i}\qquad a>b.\]
Odcinek \(AE\) jest wysokością trójkąta \(DAB\) opuszczoną na jego bok \(BD\). Wyraź pole trójkąta \(AED\) za pomocą \(a\) i \(b\).
Odpowiedź
\[P_{AED}=\frac{ab^{3}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt \(DAB\) jest prostokątny, bo kąt \(DAB\) jest kątem prostokąta; jego przyprostokątne mają długości \(\lvert AB\rvert=a\) i \(\lvert AD\rvert=b\), a przeciwprostokątna
\[\lvert BD\rvert=\sqrt{a^2+b^2}.\]
Wysokość \(AE\) opuszczona na przeciwprostokątną wyznacza trójkąt \(AED\) podobny do \(DAB\) (oba mają kąt prosty i wspólny kąt przy wierzchołku \(D\)). Z porównania dwóch wzorów na pole trójkąta \(DAB\):
\[\tfrac12 ab=\tfrac12\lvert BD\rvert\cdot\lvert AE\rvert,\qquad \lvert AE\rvert=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]
Z podobieństwa \(\frac{\lvert DE\rvert}{\lvert AD\rvert}=\frac{\lvert AD\rvert}{\lvert BD\rvert}\), czyli
\[\lvert DE\rvert=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]
Trójkąt \(AED\) jest prostokątny, a jego przyprostokątnymi są \(AE\) i \(DE\), więc
\[P_{AED}=\tfrac12\cdot\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{ab^3}{2(a^2+b^2)}.\]
**Odpowiedź.** \(P_{AED}=\dfrac{ab^{3}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – wyznaczenie długości przeciwprostokątnej \(\lvert BD\rvert=\sqrt{a^2+b^2}\) i zapisanie zależności pozwalającej obliczyć \(\lvert AE\rvert\).
**3–4 pkt** – wyznaczenie \(\lvert AE\rvert\) oraz \(\lvert DE\rvert\).
**5 pkt** – zapisanie pola trójkąta \(AED\) w postaci \(\frac{ab^{3}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem własności figur podobnych. (IV.7.c.R)
