Logarytmy
Zadanie 1, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Dane są liczby rzeczywiste \(a\) oraz \(b\):
\[a=16^{\frac{1}{2}\log_{4}36-2\log_{4}3},\]
\[b=\log_{2}9\cdot\log_{3}5\cdot\log_{5}8.\]
Oblicz wartość ilorazu \(\displaystyle \frac{a}{2b}\). Wynik zapisz w postaci \(3^{k}\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(\displaystyle \frac{a}{2b}=3^{-3}\), zatem \(k=-3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wykładnik liczby \(a\) upraszczamy wzorami na logarytm potęgi i różnicę logarytmów:
\[\tfrac12\log_4 36-2\log_4 3=\log_4 36^{\frac12}-\log_4 3^2=\log_4 6-\log_4 9=\log_4\tfrac69=\log_4\tfrac23.\]
Ponieważ \(16=4^2\), otrzymujemy
\[a=16^{\log_4\frac23}=4^{2\log_4\frac23}=4^{\log_4\left(\frac23\right)^2}=\left(\tfrac23\right)^2=\tfrac49.\]
Liczbę \(b\) sprowadzamy do jednej podstawy wzorem na zamianę podstawy \(\log_x y=\frac{\ln y}{\ln x}\):
\[b=\log_2 9\cdot\log_3 5\cdot\log_5 8=\frac{\ln 9}{\ln 2}\cdot\frac{\ln 5}{\ln 3}\cdot\frac{\ln 8}{\ln 5}=\frac{2\ln 3\cdot 3\ln 2}{\ln 2\cdot\ln 3}=6.\]
Stąd
\[\frac{a}{2b}=\frac{\frac49}{12}=\frac{4}{108}=\frac1{27}=3^{-3}.\]
**Odpowiedź.** \(\frac{a}{2b}=3^{-3}\), czyli \(k=-3\).
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – poprawne zastosowanie wzorów na logarytm potęgi oraz na różnicę logarytmów i obliczenie \(a\): \(a=\frac{36}{81}\) ALBO poprawne zastosowanie wzorów na zamianę podstawy logarytmu oraz na logarytm potęgi i obliczenie \(b\): \(b=6\).
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(3^{-3}\).
Wymagania podstawy programowej
Wymagania określone w podstawie programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
I. Sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
I.R) Zdający stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
