Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 14, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
Podstawą ostrosłupa czworokątnego \(ABCDS\) jest trapez \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Ramiona tego trapezu mają długości \(|AD|=10\) i \(|BC|=16\), a miara kąta \(ABC\) jest równa \(30^\circ\). Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\alpha\), taki że
\[\tan\alpha=\frac92.\]
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=624.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ wszystkie ściany boczne ostrosłupa są nachylone do podstawy pod tym samym kątem, spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trapez \(ABCD\). Trapez jest więc opisany na okręgu, a zatem
\[|AB|+|CD|=|AD|+|BC|=10+16=26.\]
Wysokość trapezu obliczamy z boku \(BC\):
\[h=|BC|\sin30^\circ=16\cdot\frac12=8.\]
Okrąg jest styczny do obu równoległych podstaw, więc jego średnica jest równa wysokości trapezu; stąd promień \(r=4\). Jeśli \(H\) oznacza wysokość ostrosłupa, to
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac Hr=\frac92,\qquad H=4\cdot\frac92=18.\]
Pole podstawy wynosi
\[P_p=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{26}{2}\cdot8=104.\]
Zatem objętość ostrosłupa jest równa
\[V=\frac13P_pH=\frac13\cdot104\cdot18=624.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – obliczenie objętości ostrosłupa: \(V=624\)
**5 pkt** – rozwiązanie poprawne merytorycznie z drobną usterką rachunkową lub w zapisie
**4 pkt** – obliczenie wysokości ostrosłupa \(H=18\) i pola podstawy \(P_p=104\)
**3 pkt** – wykorzystanie własności trapezu opisanego na okręgu i obliczenie wysokości ostrosłupa albo obliczenie pola podstawy \(104\)
**2 pkt** – wykorzystanie własności trapezu opisanego na okręgu wraz z obliczeniem wysokości trapezu \(8\) albo obliczenie wysokości trapezu i ostrosłupa
**1 pkt** – stwierdzenie, że spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trapez, zapisanie \(|AB|+|CD|=26\) albo obliczenie wysokości trapezu \(8\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
9.6 i R9.1 stosowanie trygonometrii w stereometrii oraz twierdzeń charakteryzujących czworokąty opisane na okręgu.
