Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 6, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy \(28\).
Odpowiedź
\(147\). Możliwe zestawy cyfr to {\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(4\),\(7\)}, dający \(7\cdot 6=42\) liczby, oraz {\(1\),\(1\),\(1\),\(1\),\(2\),\(2\),\(7\)}, dający \(7\)·C(\(6\),\(2\))=\(105\) liczb; razem \(42+105=147\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Warunek dotyczy iloczynu cyfr, więc najpierw ustalamy, jakie zestawy siedmiu cyfr dają iloczyn \(28\), a dopiero potem liczymy, na ile sposobów każdy zestaw można ustawić. Od razu zauważamy, że żadna cyfra nie może być zerem — inaczej iloczyn byłby zerem.
**Krok \(2\).** Rozkładamy \(28\) na czynniki pierwsze: \(28=2^2\cdot7\). Czynnik \(7\) musi pochodzić od którejś cyfry, a jedyną cyfrą podzielną przez \(7\) jest \(7\) (liczby \(14\), \(21\), \(28\) nie są cyframi). Zatem dokładnie jedna cyfra to \(7\).
**Krok \(3\).** Pozostałe sześć cyfr ma dawać iloczyn \(4\). Możliwości są tylko dwie: jedna czwórka i pięć jedynek albo dwie dwójki i cztery jedynki. Otrzymujemy więc dwa zestawy cyfr:
\[\{7,4,1,1,1,1,1\}\qquad\text{oraz}\qquad\{7,2,2,1,1,1,1\}.\]
**Krok \(4\).** Liczymy ustawienia pierwszego zestawu. Miejsce dla cyfry \(7\) wybieramy na \(7\) sposobów, potem miejsce dla cyfry \(4\) na \(6\) sposobów, a pozostałe pięć miejsc zajmują jedynki (tylko jeden sposób). Daje to
\[7\cdot6=42\]
liczb.
**Krok \(5\).** Liczymy ustawienia drugiego zestawu. Miejsce dla \(7\) wybieramy na \(7\) sposobów, a dwa miejsca dla dwójek spośród sześciu pozostałych na
\[\binom62=\frac{6\cdot5}{2}=15\]
sposobów. Razem \(7\cdot15=105\) liczb.
**Krok \(6\).** Zestawy się wykluczają (w pierwszym jest czwórka, w drugim jej nie ma), więc stosujemy regułę dodawania:
\[42+105=147.\]
**Uwaga.** Każda z tych liczb jest rzeczywiście siedmiocyfrowa: skoro żadna cyfra nie jest zerem, to i pierwsza cyfra nie jest zerem, więc nie trzeba nic odejmować. Warto też pamiętać, że dwójki są nierozróżnialne — dlatego w kroku \(5\) występuje kombinacja \(\binom62\), a nie \(6\cdot5\).
**Odpowiedź.** Takich liczb jest \(147\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy zdający zapisze jeden z dwóch przypadków: naturalna liczba siedmiocyfrowa, w której iloczyn wszystkich cyfr jest równy \(28\), może być zbudowana z zestawu cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka, albo: cztery jedynki, dwie dwójki i jedna siódemka.
**2 pkt** – gdy zdający zapisze oba przypadki, że naturalna liczba siedmiocyfrowa, w której iloczyn wszystkich cyfr jest równy \(28\), może być zbudowana z dwóch zestawów cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka lub cztery jedynki, dwie dwójki i jedna siódemka, oraz gdy obliczy dla jednego z dwóch przypadków, ile jest liczb siedmiocyfrowych zbudowanych z cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka: \(42\), albo cztery jedynki, dwie dwójki i jedna siódemka: \(105\).
**3 pkt** – gdy zdający obliczy, że jest \(147\) siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesiętnym jest równy \(28\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: zliczanie liczb o zadanym iloczynie cyfr z użyciem reguły dodawania, reguły mnożenia i kombinacji.
