Czworokąty
Zadanie 8, czerwiec 2019, poziom rozszerzony
Dwusieczne kątów \(BAD\) i \(BCD\) czworokąta wypukłego \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(E\), przy czym punkty \(B\) i \(E\) leżą po przeciwnych stronach prostej \(AC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że
\[\lvert\angle ABC\rvert-\lvert\angle ADC\rvert+2\cdot\lvert\angle AEC\rvert=360^\circ.\]
Odpowiedź
\[\lvert\angle ABC\rvert-\lvert\angle ADC\rvert+2\lvert\angle AEC\rvert=360^\circ.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy
\[\alpha=\lvert\angle BAE\rvert=\lvert\angle DAE\rvert,\quad \gamma=\lvert\angle BCE\rvert=\lvert\angle DCE\rvert,\]
\[\beta=\lvert\angle ABC\rvert,\quad \delta=\lvert\angle ADC\rvert,\quad \varepsilon=\lvert\angle AEC\rvert.\]
Z sumy kątów czworokąta \(ABCE\) mamy
\[\alpha+\beta+\gamma+\varepsilon=360^\circ.\]
Kąt wewnętrzny przy \(E\) w czworokącie \(AECD\) ma miarę \(360^\circ-\varepsilon\), więc
\[\alpha+(360^\circ-\varepsilon)+\gamma+\delta=360^\circ.\]
Po odjęciu drugiej równości od pierwszej otrzymujemy
\[\beta-\delta+2\varepsilon=360^\circ,\]
co jest tezą zadania.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – pełny dowód: odjęcie obu równości z wykorzystaniem własności dwusiecznych
**2 pkt** – zapisanie obu równości wynikających z sum kątów czworokątów \(ABCE\) i \(AECD\)
**1 pkt** – zapisanie jednej z tych równości
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla czerwca 2019 nie zawiera tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** planimetria i argumentacja - dwusieczne oraz suma kątów czworokąta.
