Zadanie 5 – matura z matematyki czerwiec 2019, poziom rozszerzony

Prawdopodobieństwo wynosi (\(\frac{10}{16}\))·(\(\frac{9}{15}\))=\(\frac{3}{8=0,375}\), więc należy zakodować cyfry \(3\), \(7\), \(5\).

**Krok \(1\).** Losujemy dwie kule po jednej, bez zwracania. Najprościej policzyć takie prawdopodobieństwo jako iloczyn: prawdopodobieństwo trafienia białej w pierwszym losowaniu razy prawdopodobieństwo trafienia białej w drugim losowaniu, przy założeniu że pierwsza była biała. **Krok \(2\).** W urnie jest \(10+6=16\) kul, w tym \(10\) białych. Zatem \[P(\text{pierwsza biała})=\frac{10}{16}.\] **Krok \(3\).** Po wyjęciu jednej białej kuli w urnie zostaje \(15\) kul, w tym \(9\) białych (bo jedną białą już zabraliśmy). Zatem \[P(\text{druga biała}\mid\text{pierwsza biała})=\frac{9}{15}.\] **Krok \(4\).** Mnożymy: \[P=\frac{10}{16}\cdot\frac{9}{15}=\frac{90}{240}.\] **Krok \(5\).** Skracamy ułamek przez \(30\): \[\frac{90}{240}=\frac{3}{8}.\] **Krok \(6\).** Zamieniamy na rozwinięcie dziesiętne: \[\frac{3}{8}=\frac{375}{1000}=0{,}375.\] **Krok \(7\).** Trzy kolejne cyfry po przecinku to \(3\), \(7\), \(5\) i takie należy wpisać w kratki, od lewej do prawej. **Uwaga.** Losowanie odbywa się bez zwracania, więc w drugim ułamku zmienia się i licznik, i mianownik. Gdyby kule wracały do urny, wynik byłby inny: \(\frac{10}{16}\cdot\frac{10}{16}\). Ten sam wynik można otrzymać kombinatorycznie: \(\frac{\binom{10}{2}}{\binom{16}{2}}=\frac{45}{120}=\frac{3}{8}\). **Odpowiedź.** \(P=\frac{3}{8}=0{,}375\), czyli w kratki wpisujemy cyfry \(3\), \(7\), \(5\).

**2 pkt** – gdy zdający zakoduje cyfry: \(3\), \(7\), \(5\).

Klasyfikacja rzeczowa: obliczanie prawdopodobieństwa kolejnych losowań bez zwracania i przedstawianie wyniku w postaci dziesiętnej.