Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 31, czerwiec 2017, poziom podstawowy
{ }
Ze zbioru liczb \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\), \(10\), \(11\), \(12\), \(13\), \(14\), \(15\) losujemy bez zwracania dwa razy
( )
po jednej liczbie. Wylosowane liczby tworzą parę a, b , gdzie a jest wynikiem pierwszego
( )
losowania, b jest wynikiem drugiego losowania. Oblicz, ile jest wszystkich par a, b takich,
że iloczyn \(a \cdot b\) jest liczbą parzystą.
Odpowiedź
\(154\) pary
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy bez zwracania i zapisujemy wyniki jako parę \((a,b)\), gdzie \(a\) pochodzi z pierwszego losowania — kolejność ma więc znaczenie, a liczby muszą być różne. Wszystkich par jest
\[15\cdot14=210.\]
Iloczyn \(a\cdot b\) jest parzysty dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb jest parzysta. Wygodniej policzyć dopełnienie: iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste.
W zbiorze \(\{1,2,\ldots,15\}\) liczb nieparzystych jest \(8\), więc par uporządkowanych o obu składowych nieparzystych i różnych jest
\[8\cdot7=56.\]
Zatem par o iloczynie parzystym jest
\[210-56=154.\]
**Odpowiedź.** \(154\) pary
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne policzenie jednej z klas par: 42, 56, 98 albo 112. 2 pkt: poprawna liczba wszystkich par o parzystym iloczynie, czyli 154.
Wymagania podstawy programowej
III. Modelowanie matematyczne. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (10.3).
