Graniastosłupy
Zadanie 34, czerwiec 2012, poziom podstawowy
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\) (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy \(AB\) jest równa \(8\), a pole trójkąta \(ABF\) jest równe \(52\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź
\[V=176\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(G\) będzie środkiem krawędzi \(AB\). Trójkąt \(ABF\) jest równoramienny (\(|AF|=|BF|\)), więc odcinek \(FG\) jest jego wysokością. Z pola trójkąta
\[\frac{|AB|\cdot|FG|}2=52\quad\Longrightarrow\quad \frac{8\cdot|FG|}2=52\quad\Longrightarrow\quad |FG|=13.\]
W podstawie \(ABC\), będącej trójkątem równobocznym o boku \(8\), odcinek \(CG\) jest wysokością:
\[|CG|=\frac{8\sqrt3}2=4\sqrt3.\]
Krawędź \(CF\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(FCG\) jest prostokątny i
\[|CF|^{2}=|FG|^{2}-|CG|^{2}=169-48=121,\qquad |CF|=11.\]
Objętość graniastosłupa:
\[V=\frac{8^{2}\sqrt3}4\cdot11=16\sqrt3\cdot11=176\sqrt3.\]
**Odpowiedź.** \(V=176\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – narysowanie wysokości \(CG\) trójkąta \(ABC\) i obliczenie \(|CG|=4\sqrt3\) **albo** obliczenie wysokości trójkąta \(ABF\): \(|FG|=13\)
**2 pkt** – obliczenie obu tych długości
**3 pkt** – obliczenie wysokości graniastosłupa: \(|CF|=11\)
**4 pkt** – obliczenie objętości: \(V=176\sqrt3\)
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** Użycie i tworzenie strategii.
**Wymaganie szczegółowe:** zdający oblicza objętość graniastosłupa z zastosowaniem związków miarowych w wielościanach (IV.9.b).
