Ciągi
Zadanie 17, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej \(4\).
Odpowiedź
\[171700.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech cyfry liczby będą równe \(d_1,d_2,\ldots,d_{100}\), gdzie \(d_1\geq1\), oraz
\[d_1+d_2+\cdots+d_{100}=4.\]
Wprowadzamy \(e_1=d_1-1\). Otrzymujemy równanie
\[e_1+d_2+\cdots+d_{100}=3\]
w nieujemnych liczbach całkowitych. Ograniczenie cyfry przez \(9\) nie jest aktywne, bo suma wynosi tylko \(3\). Liczba rozwiązań, a więc liczba szukanych liczb, wynosi
\[\binom{3+100-1}{100-1}=\binom{102}{99}=\binom{102}{3}=171700.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – wynik \(171700\) z pełnym uzasadnieniem
**5 pkt** – poprawny model i wartość kombinacji z drobnym błędem rachunkowym
**4 pkt** – zapisanie \(\binom{102}{3}\) jako liczby rozwiązań
**3 pkt** – sprowadzenie do liczby nieujemnych rozwiązań równania o sumie \(3\)
**2 pkt** – poprawne uwzględnienie warunku niezerowej pierwszej cyfry
**1 pkt** – rozpoczęcie poprawnego podziału przypadków lub modelu kombinatorycznego
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
10.1 R - kombinacje i zliczanie obiektów w złożonych sytuacjach kombinatorycznych.
