Równania i nierówności
Zadanie 16, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Punkty \(M\) i \(L\) leżą odpowiednio na bokach \(AB\) i \(AC\) trójkąta \(ABC\), przy czym zachodzą równości
\[|MB|=2|AM|,\qquad |LC|=3|AL|.\]
Punkt \(S\) jest punktem przecięcia odcinków \(BL\) i \(CM\). Punkt \(K\) jest punktem przecięcia półprostej \(AS\) z odcinkiem \(BC\) (zobacz rysunek).
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(660\). Oblicz pola trójkątów \(AMS,ALS,BMS\) i \(CLS\).
Odpowiedź
\[P_{AMS}=40,\qquad P_{ALS}=45,\qquad P_{BMS}=80,\qquad P_{CLS}=135.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Możemy przyjąć współrzędne \(A=(0,0)\), \(B=(3,0)\), \(C=(0,4)\). Wtedy warunki podziału boków dają
\[M=(1,0),\qquad L=(0,1).\]
Proste \(BL\) i \(CM\) mają równania
\[x+3y=3,\qquad4x+y=4.\]
Ich punkt przecięcia to
\[S=\left(\frac9{11},\frac8{11}\right).\]
W tym układzie \(P_{ABC}=6\), natomiast rzeczywiste pole wynosi \(660\), więc wszystkie pola skalujemy przez \(110\). Obliczamy pola współrzędnościowe:
\[P_{AMS}=\frac4{11}\cdot110=40,\qquad P_{ALS}=\frac9{22}\cdot110=45,\]
\[P_{BMS}=\frac8{11}\cdot110=80,\qquad P_{CLS}=\frac{27}{22}\cdot110=135.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – wszystkie cztery poprawne pola
**5 pkt** – trzy poprawne pola i metoda prowadząca do czwartego
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie położenia punktu \(S\) i co najmniej dwóch pól
**3 pkt** – poprawne proporcje podziału oraz wyznaczenie współrzędnych lub równoważnych stosunków pól
**2 pkt** – poprawny model, np. \(A=(0,0),B=(3,0),C=(0,4)\), \(M=(1,0),L=(0,1)\)
**1 pkt** – wykorzystanie zależności \(|MB|=2|AM|\) i \(|LC|=3|AL|\) do ustalenia stosunków pól
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7.5 R - związki miarowe w figurach płaskich i stosunki pól trójkątów.
