Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 18, arkusz pokazowy 2015, poziom rozszerzony
Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości \(80\,\text{cm}\) i szerokości \(50\,\text{cm}\). W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek). Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko bez przykrywki. Oblicz długość boku każdego z wyciętych kwadratowych naroży, dla której objętość otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę maksymalną objętość.
Odpowiedź
\[x=10\,\text{cm},\qquad V_{\max}=18000\,\text{cm}^3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(x\) oznacza długość boku wycinanego kwadratu. Wymiary pudełka są równe \(80-2x\), \(50-2x\) oraz \(x\), przy czym \(0<x<25\). Zatem
\[V(x)=x(80-2x)(50-2x)=4x^3-260x^2+4000x.\]
Pochodna wynosi
\[V'(x)=12x^2-520x+4000=4(3x^2-130x+1000).\]
Równanie \(V'(x)=0\) ma rozwiązania
\[x=10\qquad\text{oraz}\qquad x=\frac{100}{3}.\]
Tylko \(x=10\) należy do dziedziny. Pochodna zmienia tam znak z dodatniego na ujemny, więc objętość jest największa. Wynosi ona
\[V(10)=10\cdot60\cdot30=18000\,\text{cm}^3.\]
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt** – poprawne \(x=10\,\text{cm}\) i \(V_{\max}=18000\,\text{cm}^3\)
**6 pkt** – poprawne uzasadnienie maksimum i drobny błąd w obliczeniu objętości
**5 pkt** – wyznaczenie punktów krytycznych i odrzucenie \(\frac{100}{3}\)
**4 pkt** – poprawna pochodna funkcji objętości
**3 pkt** – poprawny model \(V(x)=x(80-2x)(50-2x)\) i dziedzina \(0<x<25\)
**2 pkt** – poprawne wymiary pudełka i wzór na objętość bez dziedziny
**1 pkt** – oznaczenie boku naroża przez \(x\) i ustalenie co najmniej dwóch wymiarów pudełka
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
11.6 R - stosowanie pochodnych w zagadnieniach optymalizacyjnych.
