Liczby rzeczywiste
Zadanie 20, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Rozważmy liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki
\[a\neq0,\qquad b\neq0,\qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2+3ab+b^2).\]
Oblicz wartość wyrażenia
\[\frac ab\]
dla dowolnych liczb \(a\) i \(b\) spełniających te warunki.
Odpowiedź
\[\frac ab=-1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy prawą stronę równania:
\[(a+b)(a^2+3ab+b^2)=a^3+4a^2b+4ab^2+b^3.\]
Po skróceniu \(a^3+b^3\) otrzymujemy
\[4a^2b+4ab^2=0,\qquad 4ab(a+b)=0.\]
Warunki \(a\neq0\) i \(b\neq0\) wykluczają dwa pierwsze czynniki, więc \(a+b=0\), czyli \(a=-b\). Stąd
\[\frac ab=\frac{-b}{b}=-1.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac ab=-1\)
**2 pkt** – otrzymanie \(4ab(a+b)=0\) i rozwiązań \(a=0\), \(b=0\), \(a=-b\), bez uwzględnienia warunków zadania
**1 pkt** – przekształcenie do postaci \(4ab(a+b)=0\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
II.2) Zdający dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany wielu zmiennych.
II.3) Wyłącza jednomian przed nawias.
III.1) Przekształca równania równoważnie.
III.5) Rozwiązuje równania wielomianowe doprowadzone do postaci iloczynowej.
