Liczby rzeczywiste
Zadanie 11, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki
\[a\ne0,\qquad b\ne0,\qquad a^3+b^3=(a+b)^3.\]
**Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac ab\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) spełniających powyższe warunki.**
Odpowiedź
\[\frac ab=-1.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy sześcian sumy i porządkujemy równanie:
\[a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\]
\[3ab(a+b)=0.\]
Ponieważ \(a\ne0\) i \(b\ne0\), musi zachodzić \(a+b=0\), czyli \(a=-b\). Stąd \(\frac ab=-1\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda obliczenia ilorazu i wynik \(\frac ab=-1\)
**2 pkt** – uzyskanie \(3ab(a+b)=0\) i rozwiązań \(a=0\), \(b=0\), \(a=-b\), bez uwzględnienia warunków
**1 pkt** – przekształcenie równania do postaci \(3ab(a+b)=0\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1, II.3, III.1 i III.6 wzory skróconego mnożenia, wyłączanie jednomianu przed nawias, równoważne przekształcanie równań i rozwiązywanie równań wielomianowych w postaci iloczynowej.
