Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, sierpień 2022, poziom podstawowy
Liczba \((5-2\sqrt{3})^2\) jest równa
**A.** \(25+4\sqrt{3}\)
**B.** \(25-4\sqrt{3}\)
**C.** \(37+20\sqrt{3}\)
**D.** \(37-20\sqrt{3}\)
Odpowiedź
**D.** \(37-20\sqrt3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy kwadrat różnicy, w której jeden ze składników jest liczbą niewymierną. Stosujemy wzór skróconego mnożenia
\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
z \(a=5\) oraz \(b=2\sqrt3\).
**Krok \(2\).** Pierwszy wyraz: \(a^2=5^2=25\).
**Krok \(3\).** Środkowy wyraz: \(2ab=2\cdot5\cdot2\sqrt3=20\sqrt3\), a we wzorze stoi on ze znakiem minus.
**Krok \(4\).** Ostatni wyraz — tu trzeba podnieść do kwadratu **oba** czynniki:
\[b^2=\left(2\sqrt3\right)^2=2^2\cdot\left(\sqrt3\right)^2=4\cdot3=12.\]
**Krok \(5\).** Składamy wszystko i redukujemy liczby wymierne:
\[\left(5-2\sqrt3\right)^2=25-20\sqrt3+12=37-20\sqrt3.\]
**Uwaga.** Odpowiedzi **A** i **B** zawierają \(25\) zamiast \(37\) — powstają, gdy ktoś zapomni podnieść do kwadratu drugi składnik albo policzy \(\left(2\sqrt3\right)^2=6\). Kwadrat dotyczy zarówno dwójki, jak i pierwiastka.
**Odpowiedź.** D: \(37-20\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2 i I.3 stosowanie wzorów skróconego mnożenia oraz działań na pierwiastkach.
