Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, sierpień 2022, poziom podstawowy
Liczba \(\log_{2}32-\log_{2}8\) jest równa
**A.** \(2\)
**B.** \(14\)
**C.** \(16\)
**D.** \(24\)
Odpowiedź
**A.** \(2\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy różnicę dwóch logarytmów o tej samej podstawie \(2\). Prowadzą tu dwie drogi: policzyć każdy logarytm osobno z definicji albo najpierw zastosować wzór na logarytm ilorazu. Pokażemy obie — dają ten sam wynik.
**Krok \(2\).** Droga pierwsza, z definicji. Logarytm \(\log_2 32\) to wykładnik, do którego podnosimy \(2\), by otrzymać \(32\):
\[2^5=32\ \Rightarrow\ \log_232=5.\]
**Krok \(3\).** Podobnie dla drugiego składnika:
\[2^3=8\ \Rightarrow\ \log_28=3.\]
**Krok \(4\).** Odejmujemy otrzymane liczby:
\[\log_232-\log_28=5-3=2.\]
**Krok \(5\).** Droga druga, ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
\[\log_232-\log_28=\log_2\frac{32}{8}=\log_24=2,\]
bo \(2^2=4\).
**Uwaga.** Różnica logarytmów odpowiada dzieleniu argumentów, a nie ich odejmowaniu: \(\log_232-\log_28\neq\log_2 24\). Odpowiedzi B, C i D biorą się właśnie z działań wykonanych na argumentach (\(32-8=24\), \(32:2=16\) itd.).
**Odpowiedź.** A: \(2\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. użycie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
I.6 posługiwanie się wzorami na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.
