Nierówności
Zadanie 5, sierpień 2018, poziom podstawowy
( )
\(2\)
Równość \(a + 2 3 = 13 + 4 3\) jest prawdziwa dla
A. \(a = 13 B\). \(a = 1 C\). \(a = 0 D\). \(a = 13 +1\)
Odpowiedź
**B.** \(a=1\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Zadanie dotyczy równości
\[(a+2\sqrt3)^2=13+4\sqrt3.\]
Po lewej stronie mamy kwadrat sumy, więc rozwijamy go wzorem skróconego mnożenia \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\), a potem porównamy to, co wyjdzie, z prawą stroną.
**Krok \(2\).** Rozwijamy lewą stronę, biorąc \(x=a\) i \(y=2\sqrt3\):
\[(a+2\sqrt3)^2=a^2+2\cdot a\cdot 2\sqrt3+(2\sqrt3)^2.\]
**Krok \(3\).** Liczymy ostatni składnik osobno, bo tu najłatwiej o błąd:
\[(2\sqrt3)^2=2^2\cdot(\sqrt3)^2=4\cdot 3=12.\]
Zatem lewa strona to
\[a^2+12+4a\sqrt3.\]
**Krok \(4\).** Zapisujemy równość i grupujemy: część bez pierwiastka i część z \(\sqrt3\):
\[\underbrace{a^2+12}_{\text{bez }\sqrt3}+\underbrace{4a\sqrt3}_{\text{z }\sqrt3}=\underbrace{13}_{\text{bez }\sqrt3}+\underbrace{4\sqrt3}_{\text{z }\sqrt3}.\]
**Krok \(5\).** Porównujemy części z pierwiastkiem: \(4a\sqrt3=4\sqrt3\), skąd \(a=1\).
**Krok \(6\).** Sprawdzamy, czy dla \(a=1\) zgadza się też reszta:
\[(1+2\sqrt3)^2=1+4\sqrt3+12=13+4\sqrt3.\]
Równość jest prawdziwa.
**Uwaga.** Nie wolno pisać \((a+2\sqrt3)^2=a^2+(2\sqrt3)^2\) - kwadrat sumy ma jeszcze wyraz środkowy \(2\cdot a\cdot 2\sqrt3\), i to właśnie on daje \(4\sqrt3\) po prawej stronie.
**Odpowiedź.** B: \(a=1\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 5.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
