Liczby rzeczywiste
Zadanie 9, próbna grudzień 2014, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{x^2}{x-4}\]
dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq4\). Oblicz pochodną funkcji \(f\) w punkcie \(x=12\).
Odpowiedź
\[f'(12)=\frac34.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Stosujemy wzór na pochodną ilorazu \(\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\) dla \(u(x)=x^2\) i \(v(x)=x-4\):
\[f'(x)=\frac{2x(x-4)-x^2\cdot1}{(x-4)^2}=\frac{x^2-8x}{(x-4)^2}\]
dla każdego \(x\neq4\). Podstawiamy \(x=12\):
\[f'(12)=\frac{144-96}{8^2}=\frac{48}{64}=\frac34.\]
**Odpowiedź.** \(f'(12)=\frac34\).
Klucz i zasady oceniania
**Schemat oceniania**
**1 pkt** – gdy poprawnie poda wzór funkcji \(f'\).
**2 pkt** – gdy obliczy wartość pochodnej dla \(x=12\): \(f'(12)=\frac{3}{4}\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 9. (0–2)
x2
Funkcja f jest określona wzorem f (x) dla każdej liczby rzeczywistej x 4 . Oblicz
x 4
pochodną funkcji f w punkcie x 12 .
II. Wykorzystanie
i interpretowanie R11.2. Zdający oblicza pochodne funkcji wymiernych.
reprezentacji
Rozwiązanie:
2x x 4 x2 x2 8x
f (x) ,
x 42 x 42
144 96 3
f (12) .
64 4
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje – 1 pkt
2x x 4 x2
gdy poprawnie poda wzór funkcji f , np. f (x)
x 42
Zdający otrzymuje – 2 pkt
3
gdy obliczy wartość pochodnej dla x 12 : f (12)
