Potęgi i pierwiastki
Zadanie 5, maj 2026, poziom podstawowy
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń.
\(1\). Liczba naturalna \(4^{12}\cdot5^{24}\) jest podzielna przez \(20\).
\(2\). Liczba naturalna \(4^{12}\cdot5^{24}\) jest w zapisie dziesiętnym liczbą \(25\)-cyfrową.
Podpowiedź
Zapisz \(4^{12}\) jako potęgę liczby \(2\), a następnie połącz ją z \(5^{24}\).
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Cała liczba redukuje się do jednej potęgi liczby \(10\).
Rozwiązanie
Ponieważ \(4^{12}=2^{24}\), to \[4^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}.\] Liczba \(10^{24}\) jest podzielna przez \(20\) i ma zapis złożony z cyfry \(1\) oraz \(24\) zer, czyli ma \(25\) cyfr. Oba stwierdzenia są prawdziwe.
Sprawdzenie
Podzielność wynika też z obecności czynników \(4\) i \(5\), których iloczyn jest równy \(20\).
Odpowiedź
**P, P.**
Rozwiązanie krok po kroku
Sprowadzamy liczbę do jednej potęgi dziesiątki:
\[4^{12}\cdot5^{24}=\left(2^2\right)^{12}\cdot5^{24}=2^{24}\cdot5^{24}=(2\cdot5)^{24}=10^{24}.\]
**Stwierdzenie 1.** \(10^{24}=20\cdot5\cdot10^{22}\), więc liczba jest podzielna przez \(20\) — stwierdzenie prawdziwe.
**Stwierdzenie 2.** Liczba \(10^{24}\) to jedynka i \(24\) zera, czyli razem \(25\) cyfr — stwierdzenie prawdziwe.
**Odpowiedź.** **P, P**
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2) Zdający przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych;
I.4) Zdający stosuje […] prawa działań na potęgach […].
