Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, maj 2023, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie
\[(2a-3)^2-(2a+3)^2\]
jest równe
**A.** \(-24a\)
**B.** \(0\)
**C.** \(18\)
**D.** \(16a^2-24a\)
Odpowiedź
**A.** \(-24a\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy różnicę dwóch kwadratów sum, więc są dwie drogi: rozwinąć oba kwadraty wzorami skróconego mnożenia albo od razu potraktować całość jako różnicę kwadratów. Pokażemy obie.
**Krok \(2\).** Rozwijamy pierwszy kwadrat wzorem \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\) dla \(a=2a\) w roli pierwszego składnika i \(3\) w roli drugiego:
\[(2a-3)^{2}=(2a)^{2}-2\cdot 2a\cdot 3+3^{2}=4a^{2}-12a+9.\]
**Krok \(3\).** Rozwijamy drugi kwadrat wzorem \((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\):
\[(2a+3)^{2}=4a^{2}+12a+9.\]
**Krok \(4\).** Odejmujemy, pamiętając o nawiasie przy drugim wyrażeniu:
\[\left(4a^{2}-12a+9\right)-\left(4a^{2}+12a+9\right)=4a^{2}-12a+9-4a^{2}-12a-9.\]
**Krok \(5\).** Redukujemy wyrazy podobne: \(4a^{2}-4a^{2}=0\), \(9-9=0\), zostaje
\[-12a-12a=-24a.\]
**Krok \(6\).** Sposób szybszy: przyjmujemy \(u=2a-3\), \(w=2a+3\) i korzystamy ze wzoru \(u^{2}-w^{2}=(u-w)(u+w)\):
\[u-w=-6,\qquad u+w=4a,\qquad (u-w)(u+w)=-6\cdot 4a=-24a.\]
**Uwaga.** Najczęstszy błąd to opuszczenie nawiasu przy odejmowaniu drugiego kwadratu. Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika w środku — bez tego wychodzi \(0\) albo \(18\), czyli właśnie błędne odpowiedzi z listy.
**Odpowiedź.** A. \(-24a\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1 zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).
