Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Liczba \((1+\sqrt{5})^{2}-(1-\sqrt{5})^{2}\) jest równa
A. \(0\)
B. −\(10\)
C. \(4\sqrt{5}\)
D. \(2+2\sqrt{5}\)
Odpowiedź
**C.** \(4\sqrt{5}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wyrażenie \(\left(1+\sqrt5\right)^2-\left(1-\sqrt5\right)^2\) to różnica kwadratów dwóch liczb. Zamiast rozwijać oba kwadraty, można od razu skorzystać ze wzoru
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b),\]
gdzie \(a=1+\sqrt5\) oraz \(b=1-\sqrt5\). To najkrótsza droga.
**Krok \(2\).** Liczymy różnicę \(a-b\), uważając na znaki przy opuszczaniu nawiasu:
\[a-b=\left(1+\sqrt5\right)-\left(1-\sqrt5\right)=1+\sqrt5-1+\sqrt5=2\sqrt5.\]
**Krok \(3\).** Liczymy sumę \(a+b\):
\[a+b=\left(1+\sqrt5\right)+\left(1-\sqrt5\right)=2.\]
**Krok \(4\).** Mnożymy oba wyniki:
\[\left(1+\sqrt5\right)^2-\left(1-\sqrt5\right)^2=2\sqrt5\cdot2=4\sqrt5.\]
**Krok \(5\).** Kontrola drugą drogą — rozwijamy każdy kwadrat osobno:
\[\left(1+\sqrt5\right)^2=1+2\sqrt5+5=6+2\sqrt5,\qquad \left(1-\sqrt5\right)^2=1-2\sqrt5+5=6-2\sqrt5,\]
a ich różnica to \(\left(6+2\sqrt5\right)-\left(6-2\sqrt5\right)=4\sqrt5\). Zgadza się.
**Uwaga.** Odpowiedź **A** (\(0\)) byłaby poprawna, gdyby oba nawiasy były sobie równe — ale \(1+\sqrt5\) i \(1-\sqrt5\) nie są liczbami przeciwnymi ani równymi, więc ich kwadraty się różnią.
**Odpowiedź.** C: \(4\sqrt5\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na: \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\).
