Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 11, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie
\[(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)\]
jest po uproszczeniu równe
**A.** \(5x^2-12x-5\)
**B.** \(5x^2-13\)
**C.** \(5x^2-12x+13\)
**D.** \(5x^2+5\)
Odpowiedź
**C.** \(5x^2-12x+13\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W wyrażeniu widać dwa wzory skróconego mnożenia: kwadrat różnicy \((a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\) oraz różnicę kwadratów \((a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\). Rozwijamy każdy nawias osobno, a dopiero na końcu odejmujemy.
**Krok \(2\).** Pierwszy składnik, z \(a=3x\) i \(b=2\):
\[(3x-2)^{2}=(3x)^{2}-2\cdot3x\cdot2+2^{2}=9x^{2}-12x+4.\]
**Krok \(3\).** Drugi składnik, z \(a=2x\) i \(b=3\):
\[(2x-3)(2x+3)=(2x)^{2}-3^{2}=4x^{2}-9.\]
**Krok \(4\).** Wstawiamy oba wyniki, pamiętając o nawiasie przy odejmowanym wyrażeniu:
\[(3x-2)^{2}-(2x-3)(2x+3)=9x^{2}-12x+4-(4x^{2}-9).\]
**Krok \(5\).** Opuszczamy nawias, zmieniając znaki obu wyrazów:
\[9x^{2}-12x+4-4x^{2}+9.\]
**Krok \(6\).** Redukujemy wyrazy podobne:
\[(9x^{2}-4x^{2})-12x+(4+9)=5x^{2}-12x+13.\]
**Uwaga.** Minus przed nawiasem zmienia \(-9\) na \(+9\) — pominięcie tego prowadzi do \(5x^{2}-12x-5\), czyli wprost do błędnej odpowiedzi A.
**Odpowiedź.** C: \(5x^{2}-12x+13\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: C
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne i wzory skróconego mnożenia.
