Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 12, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\in(0^\circ,180^\circ)\) oraz wiadomo, że
\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha=-\frac38.\]
Wartość wyrażenia
\[(\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2\]
jest równa
**A.** \(\frac{15}{4}\)
**B.** \(\frac94\)
**C.** \(\frac{27}{8}\)
**D.** \(\frac{21}{8}\)
Odpowiedź
**A.** \(\frac{15}{4}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):
\[(\cos\alpha-\sin\alpha)^2+2=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+2.\]
Po podstawieniu \(\sin\alpha\cos\alpha=-\frac38\) otrzymujemy
\[1-2\left(-\frac38\right)+2=3+\frac34=\frac{15}{4}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: A
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - jedynka trygonometryczna i przekształcanie wyrażeń.
