Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 6, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Wielomian \(x^2-100\) jest równy
**A.** \((x-10)^2\)
**B.** \((x-10)(x+10)\)
**C.** \((x-50)^2\)
**D.** \((x-50)(x+50)\)
Odpowiedź
**B.** \((x-10)(x+10)\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wyrażenie \(x^2-100\) to różnica dwóch składników, z których każdy jest kwadratem: \(x^2\) oraz \(100=10^2\). To znak rozpoznawczy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
**Krok \(2\).** Przypominamy wzór:
\[a^2-b^2=(a-b)(a+b).\]
**Krok \(3\).** Zapisujemy nasze wyrażenie w takiej postaci, podstawiając \(a=x\) oraz \(b=10\):
\[x^2-100=x^2-10^2=(x-10)(x+10).\]
**Krok \(4\).** Sprawdzamy wynik, wymnażając nawiasy:
\[(x-10)(x+10)=x^2+10x-10x-100=x^2-100.\]
Zgadza się.
**Krok \(5\).** Odrzucamy pozostałe odpowiedzi: \((x-10)^2=x^2-20x+100\) (jest środkowy wyraz i plus przy \(100\)), a \((x-50)(x+50)=x^2-2500\).
**Uwaga.** Liczbę \(100\) trzeba zobaczyć jako \(10^2\), a nie jako \(50\cdot 2\). Do wzoru wchodzi pierwiastek z wyrazu wolnego, czyli \(\sqrt{100}=10\).
**Odpowiedź.** B: \((x-10)(x+10)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za wskazanie poprawnej odpowiedzi zgodnej z kluczem CKE.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Wyrażenia algebraiczne – stosuje wzór na różnicę kwadratów.
