Liczby rzeczywiste
Zadanie 4, arkusz pokazowy 2023, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wartość wyrażenia
\[(3+4a)^2-(3-4a)^2\]
jest równa
**A.** \(32a^2\)
**B.** \(0\)
**C.** \(48a\)
**D.** \(8a^2\)
Odpowiedź
**C.** \(48a\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy różnicę dwóch kwadratów, więc zamiast wymnażać oba nawiasy, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \(p^{2}-q^{2}=(p-q)(p+q)\), gdzie \(p=3+4a\) oraz \(q=3-4a\).
**Krok \(2\).** Liczymy pierwszy czynnik, pamiętając o zmianie znaków przy opuszczaniu nawiasu z minusem:
\[p-q=(3+4a)-(3-4a)=3+4a-3+4a=8a.\]
**Krok \(3\).** Liczymy drugi czynnik:
\[p+q=(3+4a)+(3-4a)=6.\]
**Krok \(4\).** Mnożymy oba czynniki:
\[(3+4a)^{2}-(3-4a)^{2}=8a\cdot6=48a.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy dla \(a=1\): wyrażenie wyjściowe daje \(7^{2}-(-1)^{2}=49-1=48\), a wzór \(48\cdot1=48\). Zgadza się.
**Uwaga.** Wynik jest wyrażeniem liniowym, bo składniki z \(a^{2}\) się redukują: \(\left(9+24a+16a^{2}\right)-\left(9-24a+16a^{2}\right)=48a\). Dlatego warianty z \(a^{2}\) są błędne, podobnie jak \(0\) (dwa nawiasy nie są równe, bo różnią się znakiem przy \(4a\)).
**Odpowiedź.** C, czyli \(48a\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1 stosowanie wzorów skróconego mnożenia na \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).
