Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, arkusz pokazowy 2023, poziom podstawowy
Dane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).
**Dokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.**
Układem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów utworzonych przez te proste, jest układ
**A.** \[\begin{cases}(\alpha+\beta)+\beta=90^\circ,\\ \alpha+\beta=2\alpha-\beta.\end{cases}\]
**B.** \[\begin{cases}(\alpha+\beta)+\beta=180^\circ,\\ \alpha+\beta=2\alpha-\beta.\end{cases}\]
**C.** \[\begin{cases}(\alpha+\beta)+\beta=180^\circ,\\ \beta=2\alpha-\beta.\end{cases}\]
**D.** \[\begin{cases}\alpha+\beta=90^\circ,\\ \beta=2\alpha-\beta.\end{cases}\]
**E.** \[\begin{cases}\alpha+\beta=2\alpha-\beta,\\ 180^\circ-(2\alpha-\beta)=\beta.\end{cases}\]
**F.** \[\begin{cases}3\alpha+2\beta=360^\circ,\\ 2\alpha-\beta=2\beta.\end{cases}\]
Odpowiedź
**B i E**
Rozwiązanie krok po kroku
Kąty \(\alpha+\beta\) oraz \(2\alpha-\beta\) są wierzchołkowe, więc mają równe miary:
\[\alpha+\beta=2\alpha-\beta.\]
Kąty \(\alpha+\beta\) i \(\beta\) są przyległe, zatem ich suma wynosi \(180^\circ\):
\[(\alpha+\beta)+\beta=180^\circ.\]
Te zależności zapisano w układzie **B**. Drugie równanie układu **E**,
\[180^\circ-(2\alpha-\beta)=\beta,\]
jest równoważnym zapisem przyległości po wykorzystaniu równości kątów wierzchołkowych. Poprawne są więc odpowiedzi **B** i **E**.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: **B** i **E**
**1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna: **B** albo **E**
**0 pkt** – odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
IV.1 i VIII.4 rozwiązywanie układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi oraz korzystanie z własności kątów.
