Inne zagadnienia
Zadanie 6, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Wyrażenie \(16-(3x+1)^2\) jest równe:
**A.** \((3-3x)(5+3x)\)
**B.** \((15-3x)^2\)
**C.** \((5-3x)(5+3x)\)
**D.** \(15-9x^2\)
Odpowiedź
**A.** \((3-3x)(5+3x)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Wszystkie odpowiedzi są zapisane w postaci iloczynu, więc naszym zadaniem jest rozłożenie wyrażenia na czynniki. Zauważamy, że \(16=4^2\), więc całość ma kształt \(A^2-B^2\) z \(A=4\) oraz \(B=3x+1\). To wzór na różnicę kwadratów.
**Krok \(2\).** Przypominamy wzór:
\[A^2-B^2=(A-B)(A+B).\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy \(A=4\) i \(B=3x+1\):
\[16-(3x+1)^2=\bigl(4-(3x+1)\bigr)\bigl(4+(3x+1)\bigr).\]
**Krok \(4\).** Upraszczamy pierwszy nawias. Minus przed nawiasem zmienia znak obu wyrazów w środku:
\[4-(3x+1)=4-3x-1=3-3x.\]
**Krok \(5\).** Upraszczamy drugi nawias:
\[4+(3x+1)=4+3x+1=5+3x.\]
**Krok \(6\).** Otrzymujemy rozkład \((3-3x)(5+3x)\).
**Krok \(7\).** Sprawdzamy, wymnażając obie strony. Z rozkładu:
\[(3-3x)(5+3x)=15+9x-15x-9x^2=15-6x-9x^2.\]
Z wyrażenia wyjściowego:
\[16-(3x+1)^2=16-\left(9x^2+6x+1\right)=15-6x-9x^2.\]
Wyniki są identyczne.
**Uwaga.** Odpowiedź C powstaje, gdy ktoś zapomni odjąć jedynkę w pierwszym nawiasie, a odpowiedź D — gdy policzy \((3x+1)^2\) jako \(9x^2+1\), pomijając wyraz \(6x\).
**Odpowiedź.** A: \((3-3x)(5+3x)\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **A**
**0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** wyrażenia algebraiczne, wzory skróconego mnożenia.
