Liczby rzeczywiste
Zadanie 1, maj 2008, poziom podstawowy
Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną \(ABCD\), która jest wykresem funkcji \(y=f(x)\). Jej wierzchołki mają współrzędne \(A=(-3,-4)\), \(B=(-2,-4)\), \(C=(2,3)\), \(D=(4,3)\).
Korzystając z tego wykresu:
a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji \(f\),
b) podaj wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(x=1-\sqrt{10}\),
c) wyznacz równanie prostej \(BC\),
d) oblicz długość odcinka \(BC\).
Odpowiedź
a) Zbiór wartości: \(\langle-4,3\rangle\). b) \(f(1-\sqrt{10})=-4\), bo \(-3\lt1-\sqrt{10}\lt-2\). c) \(y=\dfrac74x-\dfrac12\). d) \(|BC|=\sqrt{65}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Całe zadanie opiera się na jednym rysunku, a wszystkie potrzebne dane to współrzędne czterech wierzchołków łamanej. Zbiór wartości odczytujemy jako zbiór rzędnych punktów wykresu, wartość funkcji w punkcie — jako rzędną odpowiedniego punktu łamanej, a do podpunktów c) i d) używamy wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty oraz wzoru na długość odcinka.
**Krok \(2\).** Podpunkt a). Najniżej położone punkty wykresu to odcinek \(AB\) o rzędnej \(-4\), najwyżej — odcinek \(CD\) o rzędnej \(3\). Łamana jest linią ciągłą, więc funkcja przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy tymi skrajnymi. Zbiorem wartości jest przedział \(\langle-4,3\rangle\).
**Krok \(3\).** Podpunkt b). Musimy najpierw ustalić, gdzie na osi \(Ox\) leży liczba \(1-\sqrt{10}\). Ponieważ \(9\lt10\lt16\), mamy \(3\lt\sqrt{10}\lt4\), a stąd \(-4\lt-\sqrt{10}\lt-3\) i po dodaniu \(1\):
\[-3\lt1-\sqrt{10}\lt-2.\]
**Krok \(4\).** Argument \(1-\sqrt{10}\) leży więc między \(-3\) a \(-2\), czyli w przedziale odpowiadającym odcinkowi \(AB\). Odcinek ten jest poziomy i ma rzędną \(-4\), zatem
\[f\left(1-\sqrt{10}\right)=-4.\]
**Krok \(5\).** Podpunkt c). Prosta \(BC\) przechodzi przez \(B=(-2,-4)\) i \(C=(2,3)\). Współczynnik kierunkowy:
\[a=\frac{3-(-4)}{2-(-2)}=\frac{7}{4}.\]
**Krok \(6\).** Wyznaczamy wyraz wolny, podstawiając współrzędne punktu \(C\) do wzoru \(y=\frac74x+b\):
\[3=\frac74\cdot2+b=\frac72+b,\qquad b=3-\frac72=-\frac12.\]
Zatem prosta \(BC\) ma równanie \(y=\frac74x-\frac12\). Sprawdzenie punktem \(B\): \(\frac74\cdot(-2)-\frac12=-\frac72-\frac12=-4\) — zgadza się.
**Krok \(7\).** Podpunkt d). Korzystamy ze wzoru na długość odcinka:
\[|BC|=\sqrt{\left(2-(-2)\right)^2+\left(3-(-4)\right)^2}=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}.\]
**Uwaga.** W podpunkcie b) nie wolno wstawiać \(1-\sqrt{10}\) do wzoru prostej \(BC\) — ten argument leży poza odcinkiem \(BC\), na poziomej części wykresu. Cała trudność polega właśnie na oszacowaniu \(\sqrt{10}\) i ustaleniu, na którym kawałku łamanej znajduje się ten argument.
**Odpowiedź.** a) Zbiór wartości: \(\langle-4,3\rangle\). b) \(f(1-\sqrt{10})=-4\), bo \(-3\lt1-\sqrt{10}\lt-2\). c) \(y=\dfrac74x-\dfrac12\). d) \(|BC|=\sqrt{65}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
a) Zbiór wartości funkcji \(f\) odczytuję z wykresu. Jest nim przedział \(\langle-4,3\rangle\).
b) Zauważam, że \(-3<1-\sqrt{10}<-2\). Z wykresu odczytuję, że w przedziale \(\langle-3,-2\rangle\) funkcja \(f\) jest stała i dla każdego argumentu z tego przedziału przyjmuje wartość \((-4)\), zatem wartością funkcji \(f\) dla argumentu \(x=1-\sqrt{10}\) jest \((-4)\), co można zapisać \(f\left(1-\sqrt{10}\right)=-4\).
c) Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty \(B=(-2,-4)\) i \(C=(2,3)\): \(y-3=\frac{-4-3}{-2-2}(x-2)\), stąd \(y=\frac{7}{4}x-\frac{1}{2}\).
Obliczam długość odcinka \(BC\): \(\lvert BC\rvert=\sqrt{\left(2-(-2)\right)^{2}+\left(3-(-4)\right)^{2}}=\sqrt{65}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
