Liczby rzeczywiste
Zadanie 1, maj 2014, poziom rozszerzony
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem
\[f(x)=\frac{|x+3|+|x-3|}{x}\]
dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\). Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
Odpowiedź
Zbiorem wartości funkcji jest
\[(-\infty,-2]\cup[2,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Rozpatrujemy przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi. Otrzymujemy
\[f(x)=\begin{cases}-2,&x<-3,\\[2mm]\dfrac6x,&-3\leq x<0,\\[2mm]\dfrac6x,&0<x\leq3,\\[2mm]2,&x>3.\end{cases}\]
Dla \(x\in[-3,0)\) funkcja \(\frac6x\) przyjmuje wartości \(( -\infty,-2]\), a dla \(x\in(0,3]\) wartości \([2,+\infty)\). Stałe wartości \(-2\) i \(2\) nie powiększają tego zbioru. Zatem
\[W_f=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty).\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie zbioru wartości \(( -\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)
**3 pkt** – poprawny wzór przedziałami i prawidłowe rozpatrzenie obu gałęzi \(\frac6x\), lecz usterka w zapisie zbioru wartości
**2 pkt** – poprawne zapisanie funkcji bez wartości bezwzględnych we wszystkich przedziałach
**1 pkt** – poprawne rozpoczęcie podziału dziedziny w punktach \(-3\), \(0\), \(3\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej, zapisuje funkcję przedziałami oraz odczytuje zbiór wartości funkcji związanej z proporcjonalnością odwrotną.
