Zadanie 1 – matura z matematyki maj 2009, poziom podstawowy

a) \(f(-3)=-9\), \(f(3)=1\) oraz \(f(x)=0\) dla \(x=1{,}5\). b) Wykresem jest półprosta o równaniu \(y=2x-3\) dla \(x<2\) (z pustym końcem w punkcie \((2,1)\)) oraz odcinek \(y=1\) dla \(x\in\langle2,4\rangle\), od punktu \((2,1)\) do \((4,1)\). c) \(x\in\{-1,0,1,2,3,4\}\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję określoną dwoma wzorami. Kluczowa zasada: zanim cokolwiek policzymy, sprawdzamy, do którego przedziału należy argument, i dopiero wtedy wybieramy właściwy wzór. Zauważmy też od razu dziedzinę: pierwszy wzór działa dla \(x\lt2\), drugi dla \(2\leqslant x\leqslant4\), więc \(D_f=(-\infty,4\rangle\). **Krok \(2\).** Liczymy \(f(-3)\). Ponieważ \(-3\lt2\), używamy wzoru \(2x-3\): \[f(-3)=2\cdot(-3)-3=-6-3=-9.\] **Krok \(3\).** Liczymy \(f(3)\). Ponieważ \(2\leqslant3\leqslant4\), używamy drugiego wzoru, który jest stały: \(f(3)=1\). **Krok \(4\).** Trzecia kolumna tabeli jest odwrotna: dana jest wartość \(0\), a szukamy argumentu. Na przedziale \(\langle2,4\rangle\) funkcja przyjmuje tylko wartość \(1\), więc zera tam nie ma. Szukamy zatem wśród \(x\lt2\): \[2x-3=0,\qquad 2x=3,\qquad x=1{,}5.\] Warunek \(1{,}5\lt2\) jest spełniony, więc \(f(1{,}5)=0\). **Krok \(5\).** Podpunkt b). Dla \(x\lt2\) rysujemy prostą \(y=2x-3\) — wygodnie przez punkty \((0,-3)\) i \((1,-1)\) — ale tylko jej część na lewo od \(x=2\); w punkcie \((2,1)\) stawiamy kółko puste, bo \(x=2\) nie należy do tej części. Dla \(2\leqslant x\leqslant4\) rysujemy poziomy odcinek \(y=1\) od \((2,1)\) do \((4,1)\), z oboma końcami zamalowanymi. Ponieważ \(2\cdot2-3=1\), obie części schodzą się w tym samym punkcie i wykres jest jedną nieprzerwaną linią. **Krok \(6\).** Podpunkt c). Nierówność \(f(x)\geqslant-6\) rozwiązujemy osobno na każdej części. Dla \(x\lt2\): \[2x-3\geqslant-6,\qquad 2x\geqslant-3,\qquad x\geqslant-1{,}5,\] co razem z \(x\lt2\) daje \(x\in\langle-1{,}5;\,2)\). Dla \(2\leqslant x\leqslant4\) mamy \(f(x)=1\), a nierówność \(1\geqslant-6\) jest zawsze prawdziwa, więc cały przedział \(\langle2,4\rangle\) należy do rozwiązania. **Krok \(7\).** Łączymy oba zbiory: rozwiązaniem nierówności jest \(\langle-1{,}5;\,4\rangle\). Liczby całkowite w tym przedziale to \(-1,0,1,2,3,4\). **Uwaga.** Największa pułapka tkwi w dziedzinie. Funkcja jest określona wyłącznie dla \(x\leqslant4\), więc liczby \(5,6,7,\dots\) nie mogą być rozwiązaniami, choć na pierwszy rzut oka nierówność wydaje się dla nich niegroźna — po prostu \(f(x)\) tam nie istnieje. Druga pułapka to lewy koniec: liczba \(-1{,}5\) spełnia nierówność, ale nie jest całkowita, więc najmniejszą szukaną liczbą całkowitą jest \(-1\), a nie \(-2\). **Odpowiedź.** a) \(f(-3)=-9\), \(f(3)=1\) oraz \(f(x)=0\) dla \(x=1{,}5\). b) Wykresem jest półprosta o równaniu \(y=2x-3\) dla \(x\lt2\) (z pustym końcem w punkcie \((2,1)\)) oraz odcinek \(y=1\) dla \(x\in\langle2,4\rangle\), od punktu \((2,1)\) do \((4,1)\). c) \(x\in\{-1,0,1,2,3,4\}\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Klucz CKE dołączony w tym miejscu przez ekstrakcję pochodzi z arkusza **rozszerzonego** z tej samej sesji i nie dotyczy tego zadania — opisuje inny problem i prowadzi do innego wyniku. Został usunięty, bo klucz od cudzego zadania jest gorszy niż jego brak: uczeń sprawdzający się nim uznałby poprawne rozwiązanie za błędne. Właściwego klucza do tego zadania brak w materiale źródłowym. Odpowiedź i rozwiązanie w panelach powyżej zostały wyznaczone rachunkiem z treści zadania.

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.