Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 3, czerwiec 2014, poziom podstawowy
Dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b wyrażenie ab + a − b −\(1\) jest
równe
A. ( a −\(1\)) (b −\(1\)) B. ( a +\(1\)) (b −\(1\)) C. ( a −\(1\)) (b +\(1\)) D. ( a +\(1\)) (b +\(1\))
Odpowiedź
C
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, w którą stronę pracować: w odpowiedziach stoją iloczyny dwóch nawiasów, a w treści suma czterech składników. Trzeba więc **rozłożyć wyrażenie na czynniki**, a przy czterech składnikach służy do tego grupowanie wyrazów parami.
**Krok \(2\).** Grupujemy tak, aby w każdej parze dało się coś wyłączyć:
\[ab+a-b-1=(ab+a)+(-b-1).\]
**Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(a\):
\[ab+a=a(b+1).\]
**Krok \(4\).** Z drugiej pary wyłączamy \(-1\), aby otrzymać ten sam nawias:
\[-b-1=-(b+1).\]
**Krok \(5\).** Wspólnym czynnikiem jest \((b+1)\):
\[a(b+1)-(b+1)=(b+1)(a-1)=(a-1)(b+1).\]
**Krok \(6\).** Sprawdzamy, wymnażając z powrotem:
\[(a-1)(b+1)=ab+a-b-1,\]
czyli dokładnie wyjściowe wyrażenie.
**Uwaga.** Gdyby pogrupować inaczej, wynik jest ten sam: \((ab-b)+(a-1)=b(a-1)+(a-1)=(a-1)(b+1)\). Warto szybko odrzucić błędne odpowiedzi, podstawiając np. \(a=0\), \(b=0\): wyjściowe wyrażenie daje \(-1\), a jedynie \((0-1)(0+1)=-1\) się zgadza.
**Odpowiedź.** C: \((a-1)(b+1)\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
*Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 3. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
