Graniastosłupy
Zadanie 25, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkt \(P\) jest środkiem krawędzi \(CG\) tego sześcianu.
**Oblicz odległość wierzchołka \(C\) od płaszczyzny zawierającej punkty \(B\), \(D\) oraz \(P\).**
Odpowiedź
Odległość punktu \(C\) od płaszczyzny \(BDP\) jest równa \(\frac{a\sqrt6}{6}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(S\) będzie środkiem podstawy \(ABCD\). Punkt \(S\) leży na przekątnej \(BD\), więc odcinek \(PS\) należy do płaszczyzny \(BDP\). Płaszczyzna \(CPS\) jest prostopadła do \(BD\); dlatego wysokość trójkąta \(CPS\) opuszczona z \(C\) na \(PS\) jest zarazem odległością punktu \(C\) od płaszczyzny \(BDP\).
Mamy
\[|CS|=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad |CP|=\frac a2.\]
Trójkąt \(CPS\) jest prostokątny w \(C\), zatem
\[|PS|=\sqrt{|CS|^2+|CP|^2}=\frac{a\sqrt3}{2}.\]
Jego pole można zapisać na dwa sposoby:
\[P_{CPS}=\frac12|CS|\,|CP|=\frac{a^2\sqrt2}{8}\]
oraz
\[P_{CPS}=\frac12|PS|h=\frac{a\sqrt3}{4}h.\]
Po porównaniu otrzymujemy
\[h=\frac{a\sqrt6}{6}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac{a\sqrt6}{6}\)
**2 pkt** – obliczenie pola trójkąta \(CPS\) i wyrażenie go za pomocą szukanej wysokości \(h\) albo wykonanie równoważnego kluczowego kroku metodą trygonometryczną lub objętościową
**1 pkt** – obliczenie \(|PS|=\frac{a\sqrt3}{2}\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.4 stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań.
**Wymagania szczegółowe:**
X.2R wyznaczanie przekrojów sześcianu i wykorzystywanie ich do obliczeń stereometrycznych.
