Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 15, maj 2005, poziom rozszerzony
W dowolnym trójkącie \(ABC\) punkty \(M\) i \(N\) są odpowiednio środkami boków \(AC\) i \(BC\) (rys. \(1\)).
**Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem:**
Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości:
\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN} \tag{1}\]
oraz
\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}. \tag{2}\]
Po dodaniu równości \((1)\) i \((2)\) stronami otrzymujemy:
\[2\cdot\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}.\]
Ponieważ \(\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{MA}\) oraz \(\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{BN}\), więc:
\[2\cdot\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BN},\]
\[2\cdot\overrightarrow{MN}=\vec{0}+\overrightarrow{AB}+\vec{0},\]
\[\overrightarrow{MN}=\frac12\cdot\overrightarrow{AB}.\]
Wykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można zinterpretować następująco:
**Odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta, zaś jego długość jest równa połowie długości tego boku.**
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek pomiędzy wektorem \(\overrightarrow{MN}\) oraz wektorami \(\overrightarrow{AB}\) i \(\overrightarrow{DC}\), wiedząc, że czworokąt \(ABCD\) jest dowolnym trapezem, zaś punkty \(M\) i \(N\) są odpowiednio środkami ramion \(AD\) i \(BC\) tego trapezu (rys. \(2\)).
Podaj interpretację otrzymanego wyniku.
Odpowiedź
\[\overrightarrow{MN}=\tfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Powtarzamy rozumowanie z treści zadania dla trapezu \(ABCD\), w którym \(M\) jest środkiem ramienia \(AD\), a \(N\) środkiem ramienia \(BC\).
Wektor \(\overrightarrow{MN}\) rozkładamy na dwa sposoby, prowadząc drogę przez wierzchołki \(A,B\) oraz przez wierzchołki \(D,C\):
\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN},\]
\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}.\]
Dodajemy obie równości stronami:
\[2\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}\right).\]
Punkt \(M\) jest środkiem odcinka \(AD\), więc \(\overrightarrow{MD}=-\overrightarrow{MA}\); punkt \(N\) jest środkiem odcinka \(BC\), więc \(\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{BN}\). Oba nawiasy są zatem wektorami zerowymi i
\[2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC},\qquad \overrightarrow{MN}=\tfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).\]
**Interpretacja.** Wektory \(\overrightarrow{AB}\) i \(\overrightarrow{DC}\) są zgodnie równoległe (leżą na podstawach trapezu), więc ich suma jest do nich równoległa, a jej długość jest sumą długości. Oznacza to, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw, a jego długość jest równa połowie sumy długości podstaw.
**Odpowiedź.** \(\overrightarrow{MN}=\tfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\); odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw, a jego długość równa się połowie sumy ich długości.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**15.1. (1 pkt)** – \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\) (1), \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}\) (2)
**15.2. (1 pkt)** – dodanie równości (1) i (2) stronami
**15.3. (1 pkt)** – przekształcenie wyniku do prostej postaci: \(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\)
**15.4. (1 pkt)** – zinterpretowanie otrzymanego wyniku
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
