Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 1, zbiór zadań z informatora 2023, poziom rozszerzony
Rozważ układ równań
\[\begin{cases}mx+y=m^2,\\4x+my=8,\end{cases}\]
w którym niewiadomymi są \(x\) i \(y\), natomiast \(m\) jest parametrem rzeczywistym.
**Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których ten układ ma dokładnie jedno rozwiązanie \((x,y)\) spełniające warunek**
\[|x+y|<2.\]
Odpowiedź
\(m\in(0,2)\cup(2,4)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wyznacznik macierzy współczynników układu jest równy \(m^2-4\), więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dla \(m\in\mathbb R\setminus\{-2,2\}\). Po rozwiązaniu układu otrzymujemy
\[x=\frac{m^2+2m+4}{m+2},\qquad y=\frac{-4m}{m+2}.\]
Zatem
\[|x+y|=\left|\frac{m^2-2m+4}{m+2}\right|<2.\]
Rozwiązanie tej nierówności wymiernej, z uwzędnieniem \(m\ne-2\) i \(m\ne2\), daje
\[m\in(0,2)\cup(2,4).\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości \(m\in(0,2)\cup(2,4)\)
**5 pkt** – doprowadzenie do nierówności \(\left|\frac{m^2-2m+4}{m+2}\right|<2\) i poprawna metoda jej rozwiązania
**4 pkt** – rozwiązanie jednej z dwóch nierówności powstałych po usunięciu wartości bezwzględnej
**3 pkt** – zapisanie obu nierówności równoważnych warunkowi z wartością bezwzględną
**2 pkt** – wyznaczenie \(x=\frac{m^2+2m+4}{m+2}\) oraz \(y=\frac{-4m}{m+2}\)
**1 pkt** – ustalenie warunku \(m\in\mathbb R\setminus\{-2,2\}\) oraz wyznaczenie jednej niewiadomej w zależności od \(m\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. dobieranie i tworzenie modeli matematycznych oraz budowanie pomocniczych obiektów.
**Wymagania szczegółowe:**
III.2R i IV.1 rozwiązywanie nierówności wymiernych oraz układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi.
