Nierówności
Zadanie 8, czerwiec 2017, poziom podstawowy
\(x + y = 1\)
Rozwiązaniem układu równań z niewiadomymi x i y jest para liczb dodatnich.
\(x - y = b\)
Wynika stąd, że
A. \(b < -1 B\). \(b = -1 C\). \(-1 < b < 1 D\). \(b \geq 1\)
Odpowiedź
C. \(-1\lt b\lt 1\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W układzie występuje parametr \(b\), a informacja o rozwiązaniu jest jakościowa („para liczb dodatnich”). Plan: najpierw rozwiązujemy układ, wyznaczając \(x\) i \(y\) wyrażone przez \(b\), a dopiero potem nakładamy warunki \(x\gt0\) i \(y\gt0\).
**Krok \(2\).** Dodajemy równania stronami — niewiadoma \(y\) się redukuje:
\[(x+y)+(x-y)=1+b,\qquad 2x=1+b,\qquad x=\frac{1+b}{2}.\]
**Krok \(3\).** Odejmujemy równania stronami — teraz redukuje się \(x\):
\[(x+y)-(x-y)=1-b,\qquad 2y=1-b,\qquad y=\frac{1-b}{2}.\]
**Krok \(4\).** Warunek \(x\gt0\):
\[\frac{1+b}{2}\gt0\iff 1+b\gt0\iff b\gt-1.\]
**Krok \(5\).** Warunek \(y\gt0\):
\[\frac{1-b}{2}\gt0\iff 1-b\gt0\iff b\lt1.\]
**Krok \(6\).** Oba warunki muszą zachodzić jednocześnie, więc bierzemy ich część wspólną:
\[-1\lt b\lt1.\]
**Krok \(7\).** Sprawdzenie skrajnych przypadków: dla \(b=0\) mamy \(x=y=\tfrac12\), czyli obie liczby dodatnie — dobrze; dla \(b=1\) wychodzi \(y=0\), a zero nie jest liczbą dodatnią, więc \(b=1\) rzeczywiście trzeba odrzucić.
**Uwaga.** „Liczby dodatnie” to nierówność ostra \(\gt0\) — dlatego przedział jest obustronnie otwarty i wartości \(b=-1\) oraz \(b=1\) nie wchodzą w grę.
**Odpowiedź.** C: \(-1\lt b\lt1\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 8.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
