Trójkąty
Zadanie 17, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Długość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równa \(16\). Wysokość tego trójkąta jest równa
A. \(6\)
B. \(\frac{6}{\sqrt{\pi}}\)
C. \(12\)
D. \(\frac{12}{\pi}\)
Podpowiedź
Z długości okręgu wyznacz promień okręgu opisanego, a następnie połącz go z wysokością trójkąta równobocznego.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
W trójkącie równobocznym promień okręgu opisanego spełnia zależność \(R=\frac{2}{3}h\).
Rozwiązanie
Z równania \(2\pi R=16\) otrzymujemy \(R=\frac{8}{\pi}\). Ponieważ \(R=\frac{2}{3}h\), to \[h=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\cdot\frac{8}{\pi}=\frac{12}{\pi}.\]
Sprawdzenie
Po podstawieniu \(h=\frac{12}{\pi}\) dostajemy \(R=\frac{2}{3}h=\frac{8}{\pi}\), czyli długość okręgu wynosi \(16\).
Odpowiedź
D. \(12\)/π
Rozwiązanie krok po kroku
Z długości okręgu wyznaczamy promień okręgu opisanego:
\[2\pi R=16,\qquad R=\frac{8}{\pi}.\]
Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym dzieli wysokość w stosunku \(2:1\) od wierzchołka, więc \(R=\frac23h\), skąd
\[h=\tfrac32R=\tfrac32\cdot\frac{8}{\pi}=\frac{12}{\pi}.\]
**Odpowiedź.** D. \(\dfrac{12}{\pi}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
G10.5) Zdający oblicza długość okręgu […];
G10.22) Zdający rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności.
