Trójkąty
Zadanie 12.1, maj 2026, poziom rozszerzony
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości \(x\) metrów, nieprzekraczającej \(10\) metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy \(4\) metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.
Wykaż, że pole \(P\), wyrażone w metrach kwadratowych, trójkątnego kwietnika o podstawie długości \(x\) metrów jest określone wzorem
\[P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}.\]
Odpowiedź
\[P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: łączymy dwa niezależne opisy trójkąta — wzór na pole przez promień okręgu wpisanego i połowę obwodu oraz twierdzenie Pitagorasa — i eliminujemy z nich długość ramienia.
**Krok \(2\).** Oznaczamy: \(x\) — podstawa, \(h\) — wysokość opuszczona na podstawę, \(b\) — ramię, \(r=2\) — promień okręgu wpisanego (średnica fontanny to \(4\)). Okrąg jest styczny do wszystkich trzech boków, więc jest okręgiem wpisanym w trójkąt.
**Krok \(3\).** Połowa obwodu wynosi \(p=\frac{b+b+x}{2}=b+\frac{x}{2}\), więc ze wzoru \(P=p\cdot r\) oraz \(P=\frac{1}{2}xh\) dostajemy
\[\frac{1}{2}xh=2\left(b+\frac{x}{2}\right),\qquad xh=4b+2x,\qquad b=\frac{x(h-2)}{4}.\]
**Krok \(4\).** Wysokość dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \(\frac{x}{2}\) i \(h\) oraz przeciwprostokątnej \(b\), więc
\[b^{2}=\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+h^{2}.\]
**Krok \(5\).** Podstawiamy \(b\) z Kroku \(3\) i mnożymy obie strony przez \(16\):
\[\frac{x^{2}(h-2)^{2}}{16}=\frac{x^{2}}{4}+h^{2},\qquad x^{2}\left(h^{2}-4h+4\right)=4x^{2}+16h^{2}.\]
**Krok \(6\).** Po redukcji \(4x^{2}\) po obu stronach:
\[x^{2}h^{2}-4x^{2}h=16h^{2}.\]
Dzielimy przez \(h\gt 0\):
\[x^{2}h-4x^{2}=16h,\qquad h\left(x^{2}-16\right)=4x^{2},\qquad h=\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}.\]
**Krok \(7\).** Wstawiamy do wzoru na pole:
\[P=\frac{1}{2}xh=\frac{1}{2}x\cdot\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}.\]
To należało wykazać.
**Uwaga.** Wzór ma sens tylko dla \(x\gt 4\) — podstawa musi być dłuższa od średnicy okręgu wpisanego, inaczej mianownik byłby niedodatni i pole wyszłoby ujemne albo nieokreślone. Wraz z warunkiem z treści daje to \(x\in(4,10]\).
**Odpowiedź.** \(P(x)=\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
**2 pkt** – spełnienie kryterium zapisanego w pierwszym myślniku w kategorii za 1 punkt oraz zapisanie układu co najwyżej trzech równań niezależnych, umożliwiającego wyznaczenie \(h\) w zależności od \(x\)
ALBO
– wyznaczenie \(\operatorname{tg}(2\alpha)\) w zależności od \(x\), np. \(\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{4rx}{x^{2}-4r^{2}}\) (dla sposobu II),
ALBO
– wyznaczenie zależności między \(P\) oraz \(x\), np. \(P^{2}=\frac../../{r}\left(\frac../../{r}-x\right)\cdot\frac{1}{4}x^{2}\) (dla sposobu III).
**1 pkt** – zapisanie związku między \(h\) i \(x\) oraz jedną z wielkości: długością \(b\) ramienia, lub długością odcinka \(CE\), lub długością odcinka \(CS\), np.:
\[b^{2}=\left(\tfrac{1}{2}x\right)^{2}+h^{2},\qquad \frac{r}{h-r}=\frac{\tfrac{1}{2}x}{b},\qquad \tfrac{1}{2}xh=r\cdot\left(\tfrac{1}{2}x+b\right),\]
ALBO
– zapisanie związku \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{r}{\tfrac{1}{2}x}\) (dla sposobu II),
ALBO
– zapisanie związku \(P=\left(b+\frac{x}{2}\right)\cdot r\) lub \(P=\sqrt{\left(b+\tfrac{1}{2}x\right)\left(b+\tfrac{1}{2}x-b\right)\left(b+\tfrac{1}{2}x-b\right)\left(b+\tfrac{1}{2}x-x\right)}\) (dla sposobu III),
ALBO
– zapisanie związków \(P=\tfrac{1}{2}b^{2}\sin(2\beta)\) oraz \(\sin\beta=\frac{r}{h-r}\),
ALBO
– zapisanie długości boków trójkąta \(ADC\) (lub trójkąta \(CES\)) w zależności od \(x\) i \(h\) (dla sposobu IV),
ALBO
– zapisanie długości przyprostokątnych trójkątów \(ADC\) oraz \(CES\) w zależności od \(x\) i \(h\) (dla sposobu IV).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Kategorie za 1 punkt oraz za 2 punkty oceniamy w sytuacji, gdy zdający posługuje się symbolem \(r\) albo przyjmie \(r=2\) lub \(r=4\). Natomiast jeżeli zdający przyjmie promień inny niż \(2\) lub \(4\), to może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.8) Zdający korzysta z cech podobieństwa trójkątów.
