Inne zagadnienia
Zadanie 22, maj 2026, poziom podstawowy
W okrąg \(O\) o promieniu \(9\sqrt{3}\) wpisano trójkąt równoboczny \(T\).
Bok trójkąta \(T\) ma długość ... .
Podpowiedź
Skorzystaj z zależności między bokiem trójkąta równobocznego a promieniem okręgu opisanego.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Dla trójkąta równobocznego zachodzi \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\).
Rozwiązanie
Ze wzoru \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\) otrzymujemy \[a=R\sqrt{3}=9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=27.\] Bok trójkąta ma długość \(27\).
Sprawdzenie
Dla \(a=27\) promień okręgu opisanego wynosi \(\frac{27}{\sqrt{3}}=9\sqrt{3}\), zgodnie z treścią.
Odpowiedź
Bok trójkąta \(T\) ma długość \(27\).
Rozwiązanie krok po kroku
Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym pokrywa się z punktem przecięcia jego wysokości, który dzieli każdą wysokość w stosunku \(2:1\), licząc od wierzchołka. Promień okręgu opisanego stanowi więc \(\frac23\) wysokości.
Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\) wysokość wynosi \(h=\frac{a\sqrt3}{2}\), zatem
\[R=\frac23\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{a}{\sqrt3}.\]
Stąd \(a=R\sqrt3\). Podstawiamy \(R=9\sqrt3\):
\[a=9\sqrt3\cdot\sqrt3=9\cdot3=27.\]
**Odpowiedź.** Bok trójkąta \(T\) ma długość \(27\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – poprawne uzupełnienie zdania: \(27\)
**0 pkt** – brak spełnienia powyższego kryterium
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.3) Zdający rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności;
VIII.10) Zdający wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie, w tym środek okręgu opisanego na trójkącie.
