Inne zagadnienia
Zadanie 21, maj 2026, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(KLM\), w którym \(\lvert KM\rvert=a\) oraz \(\lvert LM\rvert=b\). Dwusieczna kąta \(LMK\) przecina bok \(KL\) w punkcie \(N\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że stosunek pola trójkąta \(KNM\) do pola trójkąta \(NLM\) jest równy \(\frac{a}{b}\).
Podpowiedź
Połącz twierdzenie o dwusiecznej ze wzorem na pole trójkąta.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Oba trójkąty mają podstawy na tej samej prostej i wspólną wysokość opuszczoną z punktu \(M\).
Rozwiązanie
Z twierdzenia o dwusiecznej \[\frac{KN}{NL}=\frac{KM}{ML}=\frac{a}{b}.\] Trójkąty \(KNM\) i \(NLM\) mają wspólną wysokość opuszczoną z punktu \(M\) na prostą \(KL\). Stosunek ich pól jest więc równy stosunkowi długości podstaw: \[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{KN}{NL}=\frac{a}{b}.\]
Sprawdzenie
Wspólny czynnik \(\frac{1}{2}h\) skraca się w ilorazie pól, dlatego pozostaje dokładnie iloraz podstaw.
Odpowiedź
\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac ab.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że punkt \(N\) leży na boku \(KL\), a odcinek \(MN\) zawiera się w dwusiecznej kąta \(LMK\).
Trójkąty \(KNM\) i \(NLM\) mają podstawy \(KN\) i \(NL\) leżące na jednej prostej \(KL\) oraz wspólny wierzchołek \(M\). Wysokość opuszczona z \(M\) na prostą \(KL\) jest więc dla obu trójkątów ta sama; oznaczmy ją przez \(h\). Wtedy
\[\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\tfrac12\,|KN|\cdot h}{\tfrac12\,|NL|\cdot h}=\frac{|KN|}{|NL|}.\]
Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta \(KLM\) dwusieczna kąta \(LMK\) dzieli bok \(KL\) w stosunku długości boków przyległych:
\[\frac{|KN|}{|NL|}=\frac{|KM|}{|ML|}=\frac ab.\]
Łącząc obie równości, otrzymujemy tezę.
**Odpowiedź.** \(\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac ab\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i przeprowadzenie pełnego rozumowania
**1 pkt** – zapisanie pól obu trójkątów w postaci \(P_{KNM}=\frac12\,a\,|MN|\sin\alpha\) oraz \(P_{NLM}=\frac12\,b\,|MN|\sin\alpha\)
ALBO – uzasadnienie, że wysokości trójkątów \(KNM\) i \(NLM\) poprowadzone z wierzchołka \(N\) są równe
ALBO – zapisanie pól w postaci \(P_{KNM}=\frac12\,|KN|\,h\) oraz \(P_{NLM}=\frac12\,|NL|\,h\)
ALBO – zapisanie związku \(\frac{|KN|}{|NL|}=\frac ab\) albo \(\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{|KN|}{|NL|}\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
**Uwagi CKE:**
1. Jeżeli zdający zapisze \(\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}}=\frac{\frac12 a h}{\frac12 b h}\) i nie określi, że \(h\) oznacza wysokości poprowadzone z wierzchołka \(N\), to otrzymuje \(0\) punktów; jeżeli to określi, ale nie uzasadni równości tych wysokości — \(1\) punkt.
2. Przyjęcie konkretnej miary kąta \(LMK\), na przykład \(90^\circ\), i oparcie na tym rozumowania oznacza \(0\) punktów za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymaganie szczegółowe:**
VIII.11) Zdający przeprowadza dowody geometryczne.
