Funkcja kwadratowa
Zadanie 41, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek). Długości boków \(AB\) i \(AC\) są równe odpowiednio
\[\lvert AB\rvert=3r\qquad\text{oraz}\qquad\lvert AC\rvert=\sqrt3r.\]
Oblicz miary wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
\[\lvert\angle CAB\rvert=30^{\circ},\qquad\lvert\angle ABC\rvert=30^{\circ},\qquad\lvert\angle BCA\rvert=120^{\circ}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(D\) będzie drugim punktem przecięcia prostej \(AB\) z okręgiem. Odcinek \(AD\) jest średnicą, więc \(\lvert AD\rvert=2r\), a kąt wpisany \(ACD\) oparty na średnicy jest prosty:
\[\lvert\angle ACD\rvert=90^{\circ}.\]
W trójkącie prostokątnym \(ACD\) mamy
\[\lvert CD\rvert^2=(2r)^2-(\sqrt3r)^2=r^2,\]
czyli \(\lvert CD\rvert=r\). Jest to trójkąt o bokach \(r\), \(\sqrt3r\), \(2r\), zatem
\[\lvert\angle CAD\rvert=30^{\circ},\qquad\lvert\angle ADC\rvert=60^{\circ}.\]
Ponieważ \(\lvert AB\rvert=3r\) i \(\lvert AD\rvert=2r\), mamy \(\lvert DB\rvert=r=\lvert DC\rvert\). Trójkąt \(DBC\) jest równoramienny, a
\[\lvert\angle CDB\rvert=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.\]
Stąd kąty przy podstawie są równe po \(30^{\circ}\). Ostatecznie kąty trójkąta \(ABC\) mają miary \(30^{\circ}\), \(30^{\circ}\) i \(120^{\circ}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne miary wszystkich kątów: \(30^{\circ}\), \(30^{\circ}\), \(120^{\circ}\)
**3 pkt** – poprawne kąty trójkąta \(DBC\): \(120^{\circ}\), \(30^{\circ}\), \(30^{\circ}\)
**2 pkt** – poprawne kąty ostre trójkąta \(ADC\): \(30^{\circ}\) i \(60^{\circ}\)
**1 pkt** – zapisanie \(\lvert\angle ACD\rvert=90^{\circ}\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych oraz tworzenie obiektów pomocniczych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.4) Zdający rozwiązuje trójkąty prostokątne.
VIII.1) Wyznacza promienie, średnice i długości cięciw, także z twierdzenia Pitagorasa.
VIII.5) Stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.
VIII.12) Stosuje funkcje trygonometryczne w figurach płaskich.
