Trójkąty
Zadanie 33, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym
\[|AB|=5,\qquad |BC|=\sqrt{21},\qquad |AC|=4.\]
Dwusieczna kąta \(\angle CAB\) przecina bok \(BC\) w punkcie \(D\) (zobacz rysunek).
**Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie \(1\)., \(2\). albo \(3\).**
Długość odcinka \(BD\) jest równa
**A.** \( |BD|=\frac12\sqrt{21} \)
**B.** \( |BD|=\frac59\sqrt{21} \)
**C.** \( |BD|=\frac45\sqrt{21} \)
ponieważ z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że
**\(1\).** \(\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BC|}{|BD|}\)
**\(2\).** \( |BD|=|DC| \)
**\(3\).** \(\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|DC|}\)
Odpowiedź
**\(B_{3}\).** \( |BD|=\frac59\sqrt{21} \), ponieważ \(\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|DC|}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie \(ABC\):
\[\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac54.\]
Ponieważ \(|BD|+|DC|=|BC|=\sqrt{21}\), odcinek \(BD\) stanowi \(\frac59\) długości boku \(BC\). Zatem
\[|BD|=\frac59\sqrt{21}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B3**
**0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi oraz interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.7 stosowanie twierdzenia o dwusiecznej kąta.
