Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 34, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta wybrano punkt \(D\), taki że
\[|AD|=\frac14|AB|,\]
a na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że
\[|BE|=\frac15|BC|.\]
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\).
**Oblicz pole trójkąta \(DBE\).**
Odpowiedź
Pole trójkąta \(DBE\) jest równe \(3\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z warunków zadania
\[|DB|=|AB|-|AD|=\frac34|AB|,\qquad |BE|=\frac15|BC|.\]
Trójkąty \(DBE\) i \(ABC\) mają przy wierzchołku \(B\) ten sam kąt. Zatem z wzoru \(P=\frac12ab\sin\gamma\):
\[\frac{P_{DBE}}{P_{ABC}}=\frac{|DB|}{|AB|}\cdot\frac{|BE|}{|BC|}=\frac34\cdot\frac15=\frac3{20}.\]
Ponieważ \(P_{ABC}=20\), otrzymujemy
\[P_{DBE}=\frac3{20}\cdot20=3.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda obliczenia pola trójkąta \(DBE\) oraz wynik \(P_{DBE}=3\)
**2 pkt** – zapisanie obu zależności potrzebnych do obliczenia pola, np. \(\frac{P_{DBE}}{P_{ABE}}=\frac34\) i \(\frac{P_{ABE}}{P_{ABC}}=\frac15\), albo równoważnego modelu trygonometrycznego
**1 pkt** – poprawne zapisanie jednej z tych zależności lub zastosowanie wzoru na pole jednego z trójkątów z właściwymi proporcjami boków
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1-III.2 operowanie obiektami matematycznymi oraz dobieranie i tworzenie modeli matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.5 i VIII.8 stosowanie wzoru \(P=\frac12ab\sin\gamma\) oraz cech podobieństwa trójkątów.
