Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 30, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków
\[|AB|=12,\qquad |BC|=8\]
oraz miara kąta
\[|\angle ABC|=60^\circ.\]
**Oblicz długość środkowej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka \(A\).**
Odpowiedź
\[|AD|=4\sqrt7.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(D\) będzie środkiem boku \(BC\). Wtedy \(|BD|=4\). Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ABD\):
\[|AD|^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cos60^\circ=144+16-48=112.\]
Zatem \(|AD|=\sqrt{112}=4\sqrt7\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne równanie i wynik \(4\sqrt7\)
**1 pkt** – zapisanie równania \(|AD|^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cos60^\circ\) albo równoważnego poprawnego rozwiązania geometrycznego
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 operowanie obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.5-VII.6 stosowanie twierdzenia cosinusów i rozwiązywanie trójkątów.
