Funkcja kwadratowa
Zadanie 31, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) trójkąta. Długości boków wynoszą
\[|AB|=3r,\qquad |AC|=\sqrt3\,r.\]
**Oblicz miary wszystkich kątów trójkąta \(ABC\).**
Odpowiedź
\[|\angle CAB|=30^\circ,\qquad |\angle ABC|=30^\circ,\qquad |\angle BCA|=120^\circ.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(D\) będzie drugim końcem średnicy przechodzącej przez \(A\) i \(S\). Wtedy \(|AD|=2r\), \(|DB|=r\), a \(\angle ACD=90^\circ\). W trójkącie prostokątnym \(ACD\):
\[|CD|^2=(2r)^2-(\sqrt3r)^2=r^2,\]
więc \(|CD|=r\). Trójkąt \(ACD\) ma boki \(r,\sqrt3r,2r\), zatem jego kąty przy \(A\) i \(D\) mają odpowiednio \(30^\circ\) i \(60^\circ\). Ponieważ \(|DB|=|DC|=r\) i \(\angle CDB=120^\circ\), kąty przy \(B\) i \(C\) w trójkącie \(DBC\) mają po \(30^\circ\). Stąd kąty trójkąta \(ABC\) to \(30^\circ,30^\circ,120^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne miary wszystkich kątów: \(30^\circ,30^\circ,120^\circ\)
**3 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich kątów w trójkącie pomocniczym \(DBC\) albo \(ASC\)
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie pozostałych kątów w trójkącie \(ADC\) albo \(BSC\)
**1 pkt** – zauważenie, że \(\angle ACD=90^\circ\) albo \(\angle BCS=90^\circ\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 i III.3 operowanie obiektami oraz tworzenie konstrukcji pomocniczej.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.6, VIII.1, VIII.5 i VIII.11 rozwiązywanie trójkątów, własności okręgu i kątów wpisanych oraz zastosowanie trygonometrii w planimetrii.
