Trójkąty
Zadanie 32, wrzesień 2020, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym podstawa \(AB\) ma długość \(12\), a każde z ramion \(AC\) i \(BC\) ma długość równą \(10\). Punkt \(D\) jest środkiem ramienia \(BC\) (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta \(\alpha\), jaki środkowa \(AD\) tworzy z ramieniem \(AC\) trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
\[\sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}=\frac{24\sqrt{97}}{485}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(E\) będzie środkiem podstawy \(AB\). W trójkącie prostokątnym \(AEC\):
\[|CE|=\sqrt{10^2-6^2}=8.\]
Pole trójkąta \(ABC\) wynosi więc
\[P_{ABC}=\frac12\cdot12\cdot8=48.\]
Środkowa \(AD\) dzieli trójkąt na dwie części o równych polach, zatem \(P_{ADC}=24\). Z twierdzenia Apoloniusza dla środkowej \(AD\):
\[|AD|^2=\frac{2|AB|^2+2|AC|^2-|BC|^2}{4}=\frac{2\cdot12^2+2\cdot10^2-10^2}{4}=97,\]
czyli \(|AD|=\sqrt{97}\). Pole trójkąta \(ADC\) zapisujemy także jako
\[24=\frac12|AD|\,|AC|\sin\alpha=5\sqrt{97}\sin\alpha.\]
Stąd
\[\sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}=\frac{24\sqrt{97}}{485}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie \(\sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}\)
**3 pkt** – obliczenie zarówno \(|AD|=\sqrt{97}\), jak i \(P_{ADC}=24\)
**2 pkt** – obliczenie \(|AD|=\sqrt{97}\) albo \(P_{ADC}=24\)
**1 pkt** – obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\), \(|CE|=8\), albo równoważny konieczny krok wskazany w kluczu CKE
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2020 nie zawiera tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** planimetria - pola trójkątów, środkowa, twierdzenie Pitagorasa i wzór na pole z sinusem.
