Trójkąty
Zadanie 33, sierpień 2021, poziom podstawowy
W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(S\). Wiadomo, że
\[\frac{|AS|}{|SC|}=\frac32,\]
a pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(12\). Oblicz pole trójkąta \(CDS\).
Odpowiedź
\[P_{CDS}=\frac{16}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(AB\parallel CD\), trójkąty \(ASB\) i \(CSD\) są podobne. Skala podobieństwa pierwszego trójkąta do drugiego wynosi
\[\frac{|AS|}{|SC|}=\frac32.\]
Stosunek pól figur podobnych jest kwadratem skali, zatem
\[\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}}=\left(\frac32\right)^2=\frac94.\]
Ponieważ \(P_{ABS}=12\), otrzymujemy
\[P_{CDS}=12\cdot\frac49=\frac{16}{3}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie \(P_{CDS}=\frac{16}{3}\)
**1 pkt** – stwierdzenie podobieństwa trójkątów \(ASB\) i \(CSD\), zapisanie równości \(\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{|BS|}{|SD|}=\frac32\) albo poprawnego stosunku ich pól
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7.3 rozpoznawanie trójkątów podobnych i wykorzystywanie stosunku pól figur podobnych.
