Trójkąty
Zadanie 29, sierpień 2012, poziom podstawowy
W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są \(|AC|=|BC|=6\) i \(|\angle ACB|=30^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz wysokość \(AD\) trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(A\) na bok \(BC\).
Odpowiedź
\[\lvert AD\rvert=3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że \(D\) leży na boku \(BC\), a \(AD\) jest wysokością opuszczoną z \(A\) na ten bok.
Pole trójkąta o dwóch bokach i kącie między nimi:
\[P=\tfrac12\lvert AC\rvert\cdot\lvert BC\rvert\sin\lvert\angle ACB\rvert=\tfrac12\cdot6\cdot6\cdot\sin30^\circ=18\cdot\tfrac12=9.\]
To samo pole można zapisać z podstawą \(BC\) i wysokością \(AD\):
\[P=\tfrac12\lvert BC\rvert\cdot\lvert AD\rvert=3\lvert AD\rvert.\]
Porównując oba wyrażenia, otrzymujemy \(3\lvert AD\rvert=9\), czyli \(\lvert AD\rvert=3\).
**Odpowiedź.** \(\lvert AD\rvert=3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie zależności pozwalającej obliczyć wysokość \(AD\), np. \(\sin30^\circ=\frac{\lvert AD\rvert}{6}\) albo \(\frac12\cdot6\cdot6\sin30^\circ=\frac12\cdot6\cdot\lvert AD\rvert\).
**2 pkt** – obliczenie \(\lvert AD\rvert=3\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29. (0–2)
**Wymaganie ogólne:** użycie i tworzenie strategii.
**Wymaganie szczegółowe:** znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii.
